Cho tam giác $ABC$ với $A(2;3)$, $B(-1;-1)$, $C(10;-3)$. Gọi $M(a;b)$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $DE$ có độ dài nhỏ nhất với $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC,AB$. Khi đó biểu thức $P=a^2+b^2$ nhận giá trị bằng bao nhiêu?

Question

Dạng 1. Phương trình đường thẳng Cho tam giác $ABC$ với $A(2;3)$, $B(-1;-1)$, $C(10;-3)$. Gọi $M(a;b)$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $DE$ có độ dài nhỏ nhất với $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC,AB$. Khi đó biểu thức $P=a^2+b^2$ nhận giá trị bằng bao nhiêu?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/227d30dd1ea265b03663bba94e8f492b/F. BAI TAP NANG CAO/image297.png] Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(8;-6)\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-3\cdot8+(-4)(-6)=0\Rightarrow$ tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Ta có $ADME$ là hình chữ nhật nên $AM=DE$. Như thế $DE$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AM$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AM\perp BC\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Phương trình đường thẳng $BC:\frac{x+1}{11}=\frac{y+1}{-2}\Leftrightarrow2x+11y+13=0$. Đường thẳng qua $A$ nhận $\overrightarrow{BC}=(11;-2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $11(x-2)-2(y-3)=0\Leftrightarrow11x-2y-16=0$. Khi đó, tọa độ $M$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2x+11y+13=0\11x-2y-16=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac65\y=-\frac75\end{cases}$. Vậy $M\left(\frac65;-\frac75ight)$. Từ đó suy ra $P=\frac{36}{25}+\frac{49}{25}=\frac{17}{5}$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 14