Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 3

1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Đạo hàm $y'=\frac{-x^2+2x}{(x-1)^2}$. Ta có $y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.
Trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty),y'<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Trên các khoảng $(0;1)$ và $(1;2),y'>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
- Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $y_{\mathrm{CT}}=-2$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và $y_{\mathrm{CĐ}}=-6$.
- Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
$\lim_{x\to-\infty}y=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x^2-2x+2}{x-1}=+\infty;\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2-2x+2}{x-1}=-\infty$.
Ta có: $a=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2-2x+2}{x^2-x}=-1$;
$b=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{-x^2-2x+2}{x-1}+x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+2}{x-1}=-3$.
Suy ra đường thẳng $y=-x-3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có: $\lim_{x\to1^-}y=\lim_{x\to1^-}\frac{-x^2-2x+2}{x-1}=+\infty;\lim_{x\to1^+}y=\lim_{x\to1^+}\frac{-x^2-2x+2}{x-1}=-\infty$.
Suy ra đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:
Ta có $y=0\Leftrightarrow-x^2-2x+2=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{3}$ hoặc $x=-1-\sqrt{3}$. Vậy đồ thị hàm số giao với trục $Ox$ tại hai điểm $(-1+\sqrt{3};0)$ và $(-1-\sqrt{3};0)$.
Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $(0;-2)$.
Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I(1;-4)$.
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x=1$ và $y=-x-3$.