Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 2

1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$.
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
Đạo hàm $y'=\frac{-11}{(x+3)^2}$. Vì $y'<0$ với mọi $x\neq-3$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;-3)$ và $(-3;+\infty)$.
- Tiệm cận:
Ta có $\lim_{x\to-\infty}y=\lim_{x\to-\infty}\frac{-2x+5}{x+3}=-2;\lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x+5}{x+3}=-2$.
Suy ra đường thẳng $y=-2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có $\lim_{x\to-3^-}y=\lim_{x\to-3^-}\frac{-2x+5}{x+3}=-\infty;\lim_{x\to-3^+}y=\lim_{x\to-3^+}\frac{-2x+5}{x+3}=+\infty$.
Suy ra đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:
Đồ thị của hàm số giao với trục $Ox$ tại điểm $\left(\frac{5}{2};0\right)$, giao với trục $Oy$ tại điểm $\left(0;\frac{5}{3}\right)$.
Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $I(-3;-2)$.
Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận $x=-3$ và $y=-2$.