Bài tập nâng cao · Bài 23
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 23
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $K(1;1)$ và tam giác cân $MNP$ với phương trình cạnh đáy $MN:2x-3y+5=0$, cạnh bên $MP:x+y+1=0$, cạnh $NP$ đi qua điểm $K$. Phương trình đường thẳng $NP$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi vectơ pháp tuyến của $NP$ là $n=(A;B), A^2+B^2\ne0$.
Vì tam giác $MNP$ cân tại $P$ nên $(\widehat{PM,MN})=(\widehat{PN,MN})\Leftrightarrow \cos(PM,MN)=\cos(PN,MN)$.
$\Leftrightarrow \frac{|2A-3B|}{\sqrt{13}.\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}.\sqrt2}\Leftrightarrow \sqrt2.|2A-3B|=\sqrt{A^2+B^2}$.
$\Leftrightarrow 7A^2-24AB+17B^2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=B \\ A=\frac{17}{7}B \end{array} \right.$.
Với $A=\frac{17}{7}B$ chọn $B=7;A=17\Rightarrow NP:17x+7y-24=0$.
Với $A=B$ chọn $A=B=1\Rightarrow NP:x+y+1=0$ loại vì $NP\parallel MP$.
Vậy đường thẳng cần tìm là $NP:17x+7y-24=0$.
Vì tam giác $MNP$ cân tại $P$ nên $(\widehat{PM,MN})=(\widehat{PN,MN})\Leftrightarrow \cos(PM,MN)=\cos(PN,MN)$.
$\Leftrightarrow \frac{|2A-3B|}{\sqrt{13}.\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}.\sqrt2}\Leftrightarrow \sqrt2.|2A-3B|=\sqrt{A^2+B^2}$.
$\Leftrightarrow 7A^2-24AB+17B^2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=B \\ A=\frac{17}{7}B \end{array} \right.$.
Với $A=\frac{17}{7}B$ chọn $B=7;A=17\Rightarrow NP:17x+7y-24=0$.
Với $A=B$ chọn $A=B=1\Rightarrow NP:x+y+1=0$ loại vì $NP\parallel MP$.
Vậy đường thẳng cần tìm là $NP:17x+7y-24=0$.