Bài tập nâng cao · Bài 19
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 19
Cho hình chóp tam giác đều $ S.ABC $ có cạnh đáy bằng $ a\sqrt[] { 3 } $, cạnh bên bằng $ 2a $. Điểm $ M $ nằm trên $ SA $ sao cho $ 3\overset\rightarrow { SM }=\overset\rightarrow { SA } $. Khoảng cách từ điểm $ M $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1.
Vì $ S.ABC $ là hình chóp đều nên $ SG⊥\left ( { ABC } \right ) $ trong đó $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $.
Gọi $ N $ là trung điểm $ BC $. Vì $ \frac { SM } { SA }=\frac { NG } { NA }=\frac { 1 } { 3 } $ nên $ MG\parallel SN $$ \Rightarrow MG\parallel \left ( { SBC } \right ) $ (do $ SN⊂\left ( { SBC } \right ) $ và $ MG⊄\left ( { SBC } \right ) $).
Suy ra $ { \rm{ d } }\left ( { M,\left ( { SBC } \right ) } \right )={ \rm{ d } }\left ( { G,\left ( { SBC } \right ) } \right ) $.
Gọi $ I $ là hình chiếu của $ G $ lên $ SN $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} GI⊥SN \\ GI⊥BC \\ SN∩BC=N \\ SN,BC⊂\left ( { SBC } \right ) \end{array} \right.\Rightarrow GI⊥\left ( { SBC } \right ) $ tại $ I $. Suy ra $ { \rm{ d } }\left ( { G,\left ( { SBC } \right ) } \right )=GI $.
Vì $ G $ là trọng tâm tam giác đều $ ABC $ nên ta có $ AG=\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 3 }=a $ và $ GN=\frac { AB\sqrt[] { 3 } } { 6 }=\frac { a } { 2 } $.
Tam giác $ SAG $ vuông tại $ G $ nên $ SG=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -AG ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4a ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 3 } $.
Tam giác $ SGN $ vuông tại $ G $ và có $ GI $ là đường cao nên
$ GI=\frac { SG\cdot GN } { \sqrt[] { SG ^ { 2 } +GN ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 }\cdot \frac { a } { 2 } } { \sqrt[] { 3a ^ { 2 } +\frac { a ^ { 2 } } { 4 } } }=\frac { a\sqrt[] { 39 } } { 13 } $.
Vậy $ d\left ( { M,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { a\sqrt[] { 39 } } { 13 } $.
Cách 2.
Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $, ta có $ AG=\frac { 2 } { 3 }AN=a $, $ GN=\frac { 1 } { 3 }AN=\frac { a } { 2 } $.
Tam giác $ SAG $ vuông tại $ G $ nên $ SG=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -AG ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 3 } $.
Thể tích của khối chóp $ S.ABC $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }\cdot \frac { \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }\cdot a\sqrt[] { 3 }=\frac { 3a ^ { 3 } } { 4 } $.
Tam giác $ SGN $ vuông tại $ G $ nên $ SN=\sqrt[] { SG ^ { 2 } +GN ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3a ^ { 2 } +\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 13 } } { 2 } $.
Diện tích tam giác $ SBC $ là $ S_{ \Delta SBC } =\frac { 1 } { 2 }BC\cdot SN=\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 39 } } { 4 } $.
Ta có $ d\left ( { M,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }\frac { 3V } { S }=\frac { V } { S }=\frac { \frac { 3a ^ { 3 } } { 4 } } { \frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 39 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 39 } } { 13 } $.