Bài tập nâng cao · Bài 18
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 18
Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với mặt đáy, $ SC $ tạo với mặt đáy một góc $ 45° $. Khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ SA⊥\left ( { ABC } \right )\Rightarrow \,AC $ là hình chiếu vuông góc của $ SC $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $.
Suy ra $ \widehat { \left ( { SC\,,\,\left ( { ABC } \right ) } \right ) }= \widehat { \left ( { SC\,,\,AC } \right ) }= \widehat { SCA }=45° $.
Tam giác $ SAC $ vuông tại $ A $, $ \widehat { SCA }=45° $ suy ra $ SA\,=\,AC=a $.
Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Kẻ $ AH\,⊥\,SM\, $ tại $ H $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC\,⊥\,AM \\ BC\,⊥\,SA \end{array} \right. $, suy ra $ BC\,⊥\,\left ( { SAM } \right )\,\Rightarrow \,BC\,⊥\,AH $$ \Rightarrow \,AH\,⊥\,\left ( { SBC } \right )\,\Rightarrow \,d\left ( { A\,,\,\left ( { SBC } \right ) } \right )=AH $.
Xét tam giác $ \Delta SAM $ vuông tại $ A $, có $ AM\,=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }\, $.
Khi đó $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }\,=\,\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }\,+\,\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }\,+\frac { 4 } { 3a ^ { 2 } }=\frac { 7 } { 3a ^ { 2 } }\,\Rightarrow \,AH\,=\,\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $.
Vậy $ d\left ( { A\,,\left ( { SBC } \right ) } \right )\,=\,\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $.