Bài tập nâng cao · Bài 17
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 17
Cho hình chóp $ S.ABCD $có đáy $ ABCD $ là hình thoi cạnh $ a $, góc $ \widehat{ABC}=60^\circ $. Các cạnh bên $ SA=SB=SC=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 } $. Tính khoảng cách $ d $ từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $theo $ a $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ SA=SB=SC $nên hình chiếu vuông góc của $ S $ lên $ mp\left ( { ABCD } \right ) $là điểm $ H $là tâm đường tròn ngoại tiếp $ \Delta ABC $, mà $ \Delta ABC $đều suy ra $ H $ là trọng tâm $ \Delta ABC $.
Ta có $ AB\parallel \left ( { SCD } \right ) $suy ra $ d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $.
$ \frac { d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right ) }=\frac { BD } { HD }=\frac { 6 } { 4 }=\frac { 3 } { 2 } $.
Vì $ \Delta ABC $đều và $ H $ là trọng tâm $ \Delta ABC $suy ra $ CH⊥AB $mà $ AB\parallel CD $nên $ HC⊥CD $.
Kẻ $ HK⊥SC $, (1)
Ta có $ CD⊥HC,\,CD⊥SH\Rightarrow CD⊥\left ( { SHC } \right ) $mà $ HK⊂\left ( { SHC } \right ) $suy ra $ HK⊥CD,\,\,\left ( { 2 } \right ) $.
Từ (1) và (2) suy ra $ HK⊥\left ( { SCD } \right ) $
Khi đó $ d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right )=HK $.
Xét $ \Delta SHC $ vuông tại $ H $, có $ HC=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 },\,SC=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 }\Rightarrow SH=\sqrt[] { \frac { 7a ^ { 2 } } { 9 }-\frac { 3a ^ { 2 } } { 9 } }=\frac { 2a } { 3 } $
Ta có $ HK=\frac { SH.HC } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HC ^ { 2 } } }=\frac { \frac { 2a } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } { \frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 } }=\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 21 } $.
Suy ra $ d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }.\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 21 }=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $
Ta có $ AB\parallel \left ( { SCD } \right ) $suy ra $ d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $.
$ \frac { d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right ) }=\frac { BD } { HD }=\frac { 6 } { 4 }=\frac { 3 } { 2 } $.
Vì $ \Delta ABC $đều và $ H $ là trọng tâm $ \Delta ABC $suy ra $ CH⊥AB $mà $ AB\parallel CD $nên $ HC⊥CD $.
Kẻ $ HK⊥SC $, (1)
Ta có $ CD⊥HC,\,CD⊥SH\Rightarrow CD⊥\left ( { SHC } \right ) $mà $ HK⊂\left ( { SHC } \right ) $suy ra $ HK⊥CD,\,\,\left ( { 2 } \right ) $.
Từ (1) và (2) suy ra $ HK⊥\left ( { SCD } \right ) $
Khi đó $ d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right )=HK $.
Xét $ \Delta SHC $ vuông tại $ H $, có $ HC=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 },\,SC=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 }\Rightarrow SH=\sqrt[] { \frac { 7a ^ { 2 } } { 9 }-\frac { 3a ^ { 2 } } { 9 } }=\frac { 2a } { 3 } $
Ta có $ HK=\frac { SH.HC } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HC ^ { 2 } } }=\frac { \frac { 2a } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } { \frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 } }=\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 21 } $.
Suy ra $ d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }.\frac { 2a\sqrt[] { 21 } } { 21 }=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $