Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ và $ AB=3,BC=4 $. Biết $ \left ( { SBC } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) $ và $ SB=2\sqrt[] { 3 },∠SBC=30 ^ { 0 } $. Tính khoảng cách từ $ B $ đến $ \left ( { SAC } \right ) $.

Question

Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ và $ AB=3,BC=4 $. Biết $ \left ( { SBC } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) $ và $ SB=2\sqrt[] { 3 },∠SBC=30 ^ { 0 } $. Tính khoảng cách từ $ B $ đến $ \left ( { SAC } \right ) $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image432.png] Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { SBC } ight )⊥\left ( { ABC } ight ) \ \left ( { SBC } ight )∩\left ( { ABC } ight )=BC \ AB⊥BC \end{array} ight.\Rightarrow AB⊥\left ( { SBC } ight ) $.Gọi $ K,H $lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ B $ trên $ SC,AK $. Ta có:$ \left \{ \begin{array}{l} SC⊥BK \ SC⊥AB \end{array} ight.\Rightarrow SC⊥\left ( { ABK } ight )\Rightarrow \left ( { SAC } ight )⊥\left ( { ABK } ight )\Rightarrow BH⊥\left ( { SAC } ight )\Rightarrow d\left ( { B,\left ( { SAC } ight ) } ight )=BH. $ Áp dụng định lí cosin trong tam giác SBC, ta được: $ SC ^ { 2 } =BC ^ { 2 } +SB ^ { 2 } -2BS.BC.cos30 ^ { 0 } =16+12-2.4.2\sqrt[] { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=4\Rightarrow SC=2 $ $ \Rightarrow BK=\frac { 2S_{ SBC } } { SC }=\frac { SB.BC.sin30 ^ { 0 } } { SC }=\frac { 2\sqrt[] { 3 }.4.\frac { 1 } { 2 } } { 2 }=2\sqrt[] { 3 } $ $ \frac { 1 } { BH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { BK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 9 }+\frac { 1 } { 12 }=\frac { 7 } { 36 }\Rightarrow BH=\frac { 6\sqrt[] { 7 } } { 7 }. $

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 16