Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 20

Tam giác $ ABC $ đều có đường cao bằng $ a\sqrt[] { 3 } $ nên cạnh của tam giác $ ABC $ bằng $ a\sqrt[] { 3 }.\frac { 2 } { \sqrt[] { 3 } }=2a $.
$ SB $ tạo với đáy một góc bằng $ 60 ^ { 0 } $ tức là góc $ \widehat { SBA }=60 ^ { 0 } . $
$ SA=tan60 ^ { 0 } .AB=\sqrt[] { 3 }.2a=2a\sqrt[] { 3 }. $
Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $.
$ MG=\frac { 1 } { 3 }MA=\frac { 1 } { 3 }a\sqrt[] { 3 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $
Áp dụng Pytago trong tam giác $ SAM $ vuông tại $ A $ có $ SM=\sqrt[] { SA ^ { 2 } +AM ^ { 2 } }=\sqrt[] { (2a\sqrt[] { 3 }) ^ { 2 } +(a\sqrt[] { 3 }) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 15a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 15 } $
Kẻ $ GH $ vuông góc với $ SM $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} GH⊥SM \\ GH⊥BC \\ SM∩BC=M \end{array} \right.\Rightarrow GH⊥(SBC) $
Khi đó khoảng cách từ $ G $ tới $ (SBC) $ chính là độ dài đoạn $ GH $.
Tam giác $ MHG $ đồng dạng với tam giác $ MAS $ nên $ \frac { GH } { SA }=\frac { MG } { MS }\Rightarrow GH=\frac { SA.MG } { MS }=\frac { 2a\sqrt[] { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } { a\sqrt[] { 15 } }=\frac { 2\sqrt[] { 15 }a } { 15 } $.
Vậy khoảng cách từ $ G $ tới $ mp(SBC) $ là $ \frac { 2\sqrt[] { 15 }a } { 15 } $.