Bài tự luận · Bài 39
DẠNG 3. Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 39
(KNTT10) Cho đường thẳng $d:x-2y+1=0$ và điểm $A(-2;2)$.
a) Chứng minh $A$ không thuộc đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $d$.
c) Xác định điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$.
a) Chứng minh $A$ không thuộc đường thẳng $d$.
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $d$.
c) Xác định điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Thay toạ độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $-2-2\cdot 2+1=-5\neq 0$. Vậy điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d$.
b) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $\Delta$ nhận vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(2;1)$ của đường thẳng $d$ là một vectơ pháp tuyến nên phương trình $\Delta$ là $2(x+2)+1(y-2)=0\Leftrightarrow 2x+y+2=0$. Hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $\Delta$. Do đó, tọa độ của điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x-2y+1=0 \\ 2x+y+2=0 \\ \end{array} \right.$. Giải hệ phương trình ta được $x=-1,y=0$. Vậy $H(-1;0)$.
c) Gọi $A^{\prime}$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$. Khi đó $H$ là trung điểm của $AA^{\prime}$. Từ đó ta có $A^{\prime} (0;-2)$.
Lưu ý. Ta có thể tìm toạ độ điểm $A^{\prime}$ đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ bằng cách gọi toạ độ điểm $A^{\prime} (a;b)$. Sau đó dùng điều kiện $AA^{\prime} \perp d$ và trung điểm của $AA^{\prime}$ thuộc $d$ để tìm ra $a,b$.
b) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$. Khi đó $\Delta$ nhận vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(2;1)$ của đường thẳng $d$ là một vectơ pháp tuyến nên phương trình $\Delta$ là $2(x+2)+1(y-2)=0\Leftrightarrow 2x+y+2=0$. Hình chiếu vuông góc $H$ của điểm $A$ trên đường thẳng $d$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $\Delta$. Do đó, tọa độ của điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x-2y+1=0 \\ 2x+y+2=0 \\ \end{array} \right.$. Giải hệ phương trình ta được $x=-1,y=0$. Vậy $H(-1;0)$.
c) Gọi $A^{\prime}$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$. Khi đó $H$ là trung điểm của $AA^{\prime}$. Từ đó ta có $A^{\prime} (0;-2)$.
Lưu ý. Ta có thể tìm toạ độ điểm $A^{\prime}$ đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ bằng cách gọi toạ độ điểm $A^{\prime} (a;b)$. Sau đó dùng điều kiện $AA^{\prime} \perp d$ và trung điểm của $AA^{\prime}$ thuộc $d$ để tìm ra $a,b$.