Bài tự luận · Bài 40
DẠNG 3. Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 40
(KNTT10) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(-3;0),B(1;-2)$ và đường thẳng $d:x+y-1=0$.
a) Chứng minh rằng hai điểm $A$ và $B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$.
b) Điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác $ABM$.
a) Chứng minh rằng hai điểm $A$ và $B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$.
b) Điểm $M$ thay đổi trên đường thẳng $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác $ABM$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $(-3+0-1)\cdot (1-2-1)=8>0$ nên theo tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta có $A,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$.
b) Do $M\in d$ nên toạ độ của điểm $M$ có dạng $M(t;1-t)$. Chu vi tam giác $ABM$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MA+MB$ nhỏ nhất.
Lấy $A^{\prime}$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$. Khi đó ta có $MA+MB=MA^{\prime} +MB\geq A^{\prime} B$. Dấu bằng xảy ra khi $M=A^{\prime} B\cap d$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Khi đó $AH$ đi qua điểm $A(-3;0)$ và nhận vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(1;-1)$ của đường thẳng $d$ là vectơ pháp tuyến nên phương trình của $AH$ là $x-y+3=0$. Vậy toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y-1=0 \\ x-y+3=0 \\ \end{array} \right.$. Giải hệ phương trình ta được $x=-1,y=2$. Suy ra $H(-1;2)$. Mặt khác, $H$ là trung điểm của $AA^{\prime}$ nên $A^{\prime} (1;4)$. Ta có $A^{\prime} B=(0;-6)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A^{\prime} B$. Do đó $A^{\prime} B$ là đường thẳng đi qua điểm $A^{\prime} (1;4)$ và nhận $n(1;0)$ là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng $A^{\prime} B$ là $x=1$.
Vậy toạ độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y-1=0 \\ x=1 \\ \end{array} \right.$.
Do đó ta có $M(1;0)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác $ABM$ là $AB+MA+MB=2\sqrt{5}+4+2=6+2\sqrt{5}$.
b) Do $M\in d$ nên toạ độ của điểm $M$ có dạng $M(t;1-t)$. Chu vi tam giác $ABM$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $MA+MB$ nhỏ nhất.
Lấy $A^{\prime}$ đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$. Khi đó ta có $MA+MB=MA^{\prime} +MB\geq A^{\prime} B$. Dấu bằng xảy ra khi $M=A^{\prime} B\cap d$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Khi đó $AH$ đi qua điểm $A(-3;0)$ và nhận vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{d}}=(1;-1)$ của đường thẳng $d$ là vectơ pháp tuyến nên phương trình của $AH$ là $x-y+3=0$. Vậy toạ độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y-1=0 \\ x-y+3=0 \\ \end{array} \right.$. Giải hệ phương trình ta được $x=-1,y=2$. Suy ra $H(-1;2)$. Mặt khác, $H$ là trung điểm của $AA^{\prime}$ nên $A^{\prime} (1;4)$. Ta có $A^{\prime} B=(0;-6)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A^{\prime} B$. Do đó $A^{\prime} B$ là đường thẳng đi qua điểm $A^{\prime} (1;4)$ và nhận $n(1;0)$ là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng $A^{\prime} B$ là $x=1$.
Vậy toạ độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x+y-1=0 \\ x=1 \\ \end{array} \right.$.
Do đó ta có $M(1;0)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác $ABM$ là $AB+MA+MB=2\sqrt{5}+4+2=6+2\sqrt{5}$.