Bài tự luận · Bài 41
DẠNG 4. Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 41
(KNTT10) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau.
a) $d:\sqrt{3}x-y+2=0$ và $k:x-\sqrt{3}y-2=0$.
b) $a:\left\{ \begin{array}{l} x=2+t \\ y=1-2t \end{array} \right.$ và $b:\left\{ \begin{array}{l} x=1+t' \\ y=5+3t' \end{array} \right.$
c) $p:\left\{ \begin{array}{l} x=3-5t \\ y=2+4t \\ \end{array} \right.$ và $q:5x-4y+3=0$.
a) $d:\sqrt{3}x-y+2=0$ và $k:x-\sqrt{3}y-2=0$.
b) $a:\left\{ \begin{array}{l} x=2+t \\ y=1-2t \end{array} \right.$ và $b:\left\{ \begin{array}{l} x=1+t' \\ y=5+3t' \end{array} \right.$
c) $p:\left\{ \begin{array}{l} x=3-5t \\ y=2+4t \\ \end{array} \right.$ và $q:5x-4y+3=0$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $k$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { n_{d}}=(\sqrt{3};-1),\overset\rightarrow { n_{k}}=(1;-\sqrt{3})$. Do đó theo công thức tính góc của hai đường thẳng ta có $\cos \varphi =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { n_{d}},\overset\rightarrow { n_{k}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { n_{d}}\cdot \overset\rightarrow { n_{k}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { n_{d}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { n_{k}} \right| }=\frac{\left| 2\sqrt{3} \right| }{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \varphi =30^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $\varphi =30^{°}$.
b) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{a}}=(1;-2)$, $\overset\rightarrow { u_{b}}=(1;3)$. Do đó theo công thức tính góc của hai đường thẳng ta có $\cos \alpha =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { u_{a}},\overset\rightarrow { u_{b}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { u_{a}}\cdot \overset\rightarrow { u_{b}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { u_{a}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { u_{b}} \right| }=\frac{\left| -5 \right| }{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10} }=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là $\alpha =45^{°}$.
c) Gọi $\beta$ là góc giữa hai đường thẳng $p$ và $q$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{p}}=(-5;4)\Rightarrow \overset\rightarrow { n_{p}}=(4;5)$. Mặt khác $\overset\rightarrow { n_{q}}=(5;-4)$. Do đó theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì $\cos \beta =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { n_{p}},\overset\rightarrow { n_{q}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { n_{p}}\cdot \overset\rightarrow { n_{q}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { n_{p}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { n_{q}} \right| }=0\Rightarrow \beta =90^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $p$ và $q$ là $\beta =90^{°}$.
Lưu ý
- Khi tính góc giữa hai đường thẳng chúng ta cần phải dựa vào công thức góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó. Nhiều em hay mắc sai lầm khi dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng bằng vectơ chỉ phương của đường thẳng này và vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia.
- Nhiều em thường mắc lỗi khi tính góc giữa hai đường thẳng bằng cách đưa về góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc hai vectơ chỉ phương). Khi góc giữa hai vectơ là góc tù thì góc giữa hai đường thẳng sẽ bù với góc giữa hai vectơ.
- Gọi góc giữa hai đường thẳng là $\alpha$. Khi đề bài cần tính $\sin \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha$ thì các em phải dùng công thức tính $\cos \alpha$ rồi áp dụng các tính chất giá trị lượng giác của một góc để tính $\sin \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $\varphi =30^{°}$.
b) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{a}}=(1;-2)$, $\overset\rightarrow { u_{b}}=(1;3)$. Do đó theo công thức tính góc của hai đường thẳng ta có $\cos \alpha =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { u_{a}},\overset\rightarrow { u_{b}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { u_{a}}\cdot \overset\rightarrow { u_{b}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { u_{a}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { u_{b}} \right| }=\frac{\left| -5 \right| }{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10} }=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là $\alpha =45^{°}$.
c) Gọi $\beta$ là góc giữa hai đường thẳng $p$ và $q$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{p}}=(-5;4)\Rightarrow \overset\rightarrow { n_{p}}=(4;5)$. Mặt khác $\overset\rightarrow { n_{q}}=(5;-4)$. Do đó theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì $\cos \beta =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { n_{p}},\overset\rightarrow { n_{q}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { n_{p}}\cdot \overset\rightarrow { n_{q}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { n_{p}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { n_{q}} \right| }=0\Rightarrow \beta =90^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $p$ và $q$ là $\beta =90^{°}$.
Lưu ý
- Khi tính góc giữa hai đường thẳng chúng ta cần phải dựa vào công thức góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó. Nhiều em hay mắc sai lầm khi dùng công thức tính góc giữa hai đường thẳng bằng vectơ chỉ phương của đường thẳng này và vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia.
- Nhiều em thường mắc lỗi khi tính góc giữa hai đường thẳng bằng cách đưa về góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc hai vectơ chỉ phương). Khi góc giữa hai vectơ là góc tù thì góc giữa hai đường thẳng sẽ bù với góc giữa hai vectơ.
- Gọi góc giữa hai đường thẳng là $\alpha$. Khi đề bài cần tính $\sin \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha$ thì các em phải dùng công thức tính $\cos \alpha$ rồi áp dụng các tính chất giá trị lượng giác của một góc để tính $\sin \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha$.