Bài tập nâng cao · Bài 6
Dạng 2. Tìm tham số để hàm số bậc ba có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 6
(Chuyên Hạ Long 2019) Cho hàm số $ y=x ^ { 3 } -\left ( { 2m+1 } \right )x ^ { 2 } +\left ( { m+1 } \right )x+m-1 $. Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên $ m < 20 $ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?
Xem lời giải
Lời giải
+ Ta có: $ y=\left ( { x-1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } -2mx+1-m } \right ) $.
+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị $ y $cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.$ \Leftrightarrow y=\left ( { x-1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } -2mx+1-m } \right )=0 $ có ba nghiệm phân biệt.
$ \Leftrightarrow x ^ { 2 } -2mx+1-m=0 $ có hai nghiệm phân biệt khác 1.
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m ^ { 2 } +m-1>0 \\ 2-3m\neq 0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < \frac { -1-\sqrt[] { 5 } } { 2 } \\ m>\frac { -1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } \\ \end{array} \right. \\ m\neq \frac { 2 } { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $.
+ Do $ m\in N,m < 20 $ nên $ 1\leq m < 20 $. Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.
+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị $ y $cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.$ \Leftrightarrow y=\left ( { x-1 } \right )\left ( { x ^ { 2 } -2mx+1-m } \right )=0 $ có ba nghiệm phân biệt.
$ \Leftrightarrow x ^ { 2 } -2mx+1-m=0 $ có hai nghiệm phân biệt khác 1.
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} m ^ { 2 } +m-1>0 \\ 2-3m\neq 0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m < \frac { -1-\sqrt[] { 5 } } { 2 } \\ m>\frac { -1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } \\ \end{array} \right. \\ m\neq \frac { 2 } { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $.
+ Do $ m\in N,m < 20 $ nên $ 1\leq m < 20 $. Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.