Bài tập nâng cao · Bài 7
Dạng 2. Tìm tham số để hàm số bậc ba có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 7
(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Cho hàm số $ y=x ^ { 3 } -3mx ^ { 2 } +3\left ( { m ^ { 2 } -1 } \right )x-m ^ { 3 } $, với $ m $ là tham số; gọi $ \left ( { C } \right ) $ là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi $ m $ thay đổi, điểm cực đại của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ luôn nằm trên một đường thẳng $ d $ cố định. Xác định hệ số góc $ k $ của đường thẳng $ d $.
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định $ D=\mathbb{R} $.
Ta có $ y'=3x ^ { 2 } -6mx+3\left ( { m ^ { 2 } -1 } \right ) $ và $ y' $.
Khi đó $ y'=0\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } -6mx+3\left ( { m ^ { 2 } -1 } \right )=0 $.
$ \Delta '=9m ^ { 2 } -9\left ( { m ^ { 2 } -1 } \right )=9 $ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $ x=\frac { 3m+3 } { 3 }=m+1 $ và $ x=\frac { 3m-3 } { 3 }=m-1 $.
$ y' $$ =-6 < 0 $$ \Rightarrow x=m-1 $ là điểm cực đại của hàm số
$ \Rightarrow A\left ( { m-1\,;\,-3m+2 } \right ) $ là điểm cực đại của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ A } =m-1 \\ y_{ A } =-3m+2 \end{array} \right. $$ \Rightarrow y_{ A } =-3x_{ A } -1 $
$ \Rightarrow A $ luôn thuộc đường thẳng $ d $ có phương trình $ y=-3x-1 $.
Do đó hệ số góc $ k $ của đường thẳng $ d $ là $ -3 $.
Ta có $ y'=3x ^ { 2 } -6mx+3\left ( { m ^ { 2 } -1 } \right ) $ và $ y' $.
Khi đó $ y'=0\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } -6mx+3\left ( { m ^ { 2 } -1 } \right )=0 $.
$ \Delta '=9m ^ { 2 } -9\left ( { m ^ { 2 } -1 } \right )=9 $ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $ x=\frac { 3m+3 } { 3 }=m+1 $ và $ x=\frac { 3m-3 } { 3 }=m-1 $.
$ y' $$ =-6 < 0 $$ \Rightarrow x=m-1 $ là điểm cực đại của hàm số
$ \Rightarrow A\left ( { m-1\,;\,-3m+2 } \right ) $ là điểm cực đại của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ A } =m-1 \\ y_{ A } =-3m+2 \end{array} \right. $$ \Rightarrow y_{ A } =-3x_{ A } -1 $
$ \Rightarrow A $ luôn thuộc đường thẳng $ d $ có phương trình $ y=-3x-1 $.
Do đó hệ số góc $ k $ của đường thẳng $ d $ là $ -3 $.