Bài tập nâng cao · Bài 8
Dạng 2. Tìm tham số để hàm số bậc ba có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 8
(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số $ y=\frac { m } { 3 }x ^ { 3 } -\left ( { m-1 } \right )x ^ { 2 } +3\left ( { m-2 } \right )x+2 $. Hàm số đạt cực trị tại $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } $ thỏa mãn $ x_{ 1 } +2x_{ 2 } =1 $ khi $ m=a $ và $ m=b $. Hãy tính tổng $ a+b $.
Xem lời giải
Lời giải
Có $ y'=mx ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )x+3\left ( { m-2 } \right ) $.
Hàm số đạt cực trị tại $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } $ thỏa mãn $ x_{ 1 } +2x_{ 2 } =1 $ suy ra $ x_{ 2 } =\frac { 2-m } { m } $.
Do $ x_{ 2 } =\frac { 2-m } { m } $ là nghiệm của phương trình $ mx ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )x+3\left ( { m-2 } \right )=0 $ nên $ m\left ( { \frac { 2-m } { m } } \right ) ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )\left ( { \frac { 2-m } { m } } \right )+3\left ( { m-2 } \right )=0 $$ \Leftrightarrow \left[ m=2 \\ m=\frac { 2 } { 3 } \right. $.
Thử lại thấy $ \left[ m=2 \\ m=\frac { 2 } { 3 } \right. $ đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $ a+b=\frac { 8 } { 3 } $.
Hàm số đạt cực trị tại $ x_{ 1 } ,x_{ 2 } $ thỏa mãn $ x_{ 1 } +2x_{ 2 } =1 $ suy ra $ x_{ 2 } =\frac { 2-m } { m } $.
Do $ x_{ 2 } =\frac { 2-m } { m } $ là nghiệm của phương trình $ mx ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )x+3\left ( { m-2 } \right )=0 $ nên $ m\left ( { \frac { 2-m } { m } } \right ) ^ { 2 } -2\left ( { m-1 } \right )\left ( { \frac { 2-m } { m } } \right )+3\left ( { m-2 } \right )=0 $$ \Leftrightarrow \left[ m=2 \\ m=\frac { 2 } { 3 } \right. $.
Thử lại thấy $ \left[ m=2 \\ m=\frac { 2 } { 3 } \right. $ đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $ a+b=\frac { 8 } { 3 } $.