Bài tập nâng cao · Bài 9
Dạng 3. Tìm tham số để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 9
(THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số$ y=x ^ { 4 } -2m ^ { 2 } x ^ { 2 } +m+4 $ có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều?
Xem lời giải
Lời giải
Đồ thị hàm số có $ 3 $ điểm cực trị $ \Leftrightarrow $$ m\neq 0 $.
Khi đó, $ 3 $ điểm cực trị của đồ thị hàm số là $ A\left ( { 0;\ m+4 } \right ) $, $ B\left ( { \left | { m } \right |;\ -m ^ { 4 } +m+4 } \right ) $, $ C\left ( { -\left | { m } \right |;\ -m ^ { 4 } +m+4 } \right ) $.
Tam giác $ ABC $ có $ AB=AC $ nên tam giác $ ABC $ cân tại $ A $, suy ra tam giác $ ABC $ đều $ \Leftrightarrow AB=BC $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { m ^ { 2 } +m ^ { 8 } }=2\left | { m } \right |\Leftrightarrow m ^ { 8 } +m ^ { 2 } =4m ^ { 2 } \Leftrightarrow \left[ m=0 \\ m=±\sqrt[6] { 3 } \right. $.
Kết hợp điều kiện ta được $ m\in \left \{ \begin{array}{l} -\sqrt[6] { 3 };\ \sqrt[6] { 3 } \end{array} \right \} $.
Khi đó, $ 3 $ điểm cực trị của đồ thị hàm số là $ A\left ( { 0;\ m+4 } \right ) $, $ B\left ( { \left | { m } \right |;\ -m ^ { 4 } +m+4 } \right ) $, $ C\left ( { -\left | { m } \right |;\ -m ^ { 4 } +m+4 } \right ) $.
Tam giác $ ABC $ có $ AB=AC $ nên tam giác $ ABC $ cân tại $ A $, suy ra tam giác $ ABC $ đều $ \Leftrightarrow AB=BC $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { m ^ { 2 } +m ^ { 8 } }=2\left | { m } \right |\Leftrightarrow m ^ { 8 } +m ^ { 2 } =4m ^ { 2 } \Leftrightarrow \left[ m=0 \\ m=±\sqrt[6] { 3 } \right. $.
Kết hợp điều kiện ta được $ m\in \left \{ \begin{array}{l} -\sqrt[6] { 3 };\ \sqrt[6] { 3 } \end{array} \right \} $.