Bài tập nâng cao · Bài 10
Dạng 3. Tìm tham số để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 10
(THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Tìm $ m $ để đồ thị hàm số $ y=x ^ { 4 } -2m ^ { 2 } x ^ { 2 } +1 $ có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.
Xem lời giải
Lời giải
$ y=x ^ { 4 } -2m ^ { 2 } x ^ { 2 } +1 $.
+ Cách 1:
Hàm số có 3 cực trị $ \Leftrightarrow \,ab\, < 0\Leftrightarrow -2m ^ { 2 } < 0\Leftrightarrow m\neq 0 $.
$ y'=4x ^ { 3 } -4m ^ { 2 } x $
$y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4m^2x=0\Leftrightarrow 4x(x^2-m^2)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=0&\Rightarrow y_1=1\\x_2=m&\Rightarrow y_2=-m^4+1\\x_3=-m&\Rightarrow y_3=-m^4+1\end{cases}$
Giả sử $ A\left ( { 0\,;\,1 } \right ) $, $ B\left ( { m\,;\,-m ^ { 4 } +1 } \right ) $, $ C\left ( { -m\,;\,-m ^ { 4 } +1 } \right ) $ là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
$ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { m\,;\,-m ^ { 4 } } \right ) $$ \Rightarrow AB=\sqrt[] { m ^ { 2 } +m ^ { 8 } } $.
$ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { -m\,;\,-m ^ { 4 } } \right ) $$ \Rightarrow AC=\sqrt[] { m ^ { 2 } +m ^ { 8 } } $.
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $$ \Delta ABC $ vuông cân tại $ A $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} AB=AC\, \\ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC }=0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\in \mathbb{R} \\ -m ^ { 2 } +m ^ { 8 } =0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow -m ^ { 2 } \left ( { 1-m ^ { 6 } } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ m=0\,\,\,(l) \\ m=1\,\,\,\,(n) \\ m=-1\,(n) \right. $.
Vậy $ m\in \left \{ \begin{array}{l} -1\,;1 \end{array} \right \} $.
+ Cách 2: (Áp dụng công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương)
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $$ \left \{ \begin{array}{l} ab < 0 \\ \frac { -8a } { b ^ { 3 } }=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -2m ^ { 2 } < 0 \\ \frac { -8 } { \left ( { -2m ^ { 2 } } \right ) ^ { 3 } }=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 0 \\ m ^ { 6 } =1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 0 \\ \left[ m=1\,\,\,\,(n) \\ m=-1\,(n) \right. \end{array} \right. $.
Vậy $ m\in \left \{ \begin{array}{l} -1\,;1 \end{array} \right \} $.
+ Cách 1:
Hàm số có 3 cực trị $ \Leftrightarrow \,ab\, < 0\Leftrightarrow -2m ^ { 2 } < 0\Leftrightarrow m\neq 0 $.
$ y'=4x ^ { 3 } -4m ^ { 2 } x $
$y'=0\Leftrightarrow 4x^3-4m^2x=0\Leftrightarrow 4x(x^2-m^2)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=0&\Rightarrow y_1=1\\x_2=m&\Rightarrow y_2=-m^4+1\\x_3=-m&\Rightarrow y_3=-m^4+1\end{cases}$
Giả sử $ A\left ( { 0\,;\,1 } \right ) $, $ B\left ( { m\,;\,-m ^ { 4 } +1 } \right ) $, $ C\left ( { -m\,;\,-m ^ { 4 } +1 } \right ) $ là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.
$ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { m\,;\,-m ^ { 4 } } \right ) $$ \Rightarrow AB=\sqrt[] { m ^ { 2 } +m ^ { 8 } } $.
$ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { -m\,;\,-m ^ { 4 } } \right ) $$ \Rightarrow AC=\sqrt[] { m ^ { 2 } +m ^ { 8 } } $.
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $$ \Delta ABC $ vuông cân tại $ A $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} AB=AC\, \\ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC }=0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\in \mathbb{R} \\ -m ^ { 2 } +m ^ { 8 } =0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow -m ^ { 2 } \left ( { 1-m ^ { 6 } } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ m=0\,\,\,(l) \\ m=1\,\,\,\,(n) \\ m=-1\,(n) \right. $.
Vậy $ m\in \left \{ \begin{array}{l} -1\,;1 \end{array} \right \} $.
+ Cách 2: (Áp dụng công thức tính nhanh cực trị hàm trùng phương)
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $$ \left \{ \begin{array}{l} ab < 0 \\ \frac { -8a } { b ^ { 3 } }=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -2m ^ { 2 } < 0 \\ \frac { -8 } { \left ( { -2m ^ { 2 } } \right ) ^ { 3 } }=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 0 \\ m ^ { 6 } =1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m\neq 0 \\ \left[ m=1\,\,\,\,(n) \\ m=-1\,(n) \right. \end{array} \right. $.
Vậy $ m\in \left \{ \begin{array}{l} -1\,;1 \end{array} \right \} $.