Bài tập nâng cao · Bài 11
Dạng 3. Tìm tham số để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 11
(Toán Học Tuổi Trẻ Số 5) Tìm tất cả các giá trị $ m $ sao cho đồ thị hàm số $ y=x ^ { 4 } +\left ( { m+1 } \right )x ^ { 2 } -2m-1 $ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng $ 120° $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ y'=4x ^ { 3 } +2\left ( { m+1 } \right )x=2x\left ( { 2x ^ { 2 } +m+1 } \right ) $.
$ y'=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ 2x ^ { 2 } =-m-1 \right. $
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $ y'=0 $ có ba nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ $ m+1 < 0\Leftrightarrow m < -1 $.
Khi đó
$ A\left ( { 0;\,-2m-1 } \right ) $, $ B\left ( { -\sqrt[] { \frac { -m-1 } { 2 } };\,-\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }-2m-1 } \right ) $, $ C\left ( { \sqrt[] { \frac { -m-1 } { 2 } };\,-\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }-2m-1 } \right ) $, là các điểm cực trị của đồ thị.
Ta thấy $ AB=AC=\sqrt[] { -\frac { m+1 } { 2 }+\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 4 } } { 16 } } $nên tam giác $ ABC $ cân tại $ A $.
Từ giả thiết suy ra $ A=120° $.
Gọi $ H $ là trung điểm $ BC $, ta có $ H\left ( { 0;\,-\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }-2m-1 } \right ) $
$ BH=AHtan60°\Leftrightarrow \frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }.\sqrt[] { 3 }=\sqrt[] { -\frac { m+1 } { 2 } } $
$ \Leftrightarrow \frac { 3\left ( { m+1 } \right ) ^ { 4 } } { 16 }=-\frac { m+1 } { 2 }\Leftrightarrow 3\left ( { m+1 } \right ) ^ { 3 } =-8\Leftrightarrow m=-1-\frac { 2 } { \sqrt[3] { 3 } } $.
$ y'=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ 2x ^ { 2 } =-m-1 \right. $
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $ y'=0 $ có ba nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ $ m+1 < 0\Leftrightarrow m < -1 $.
Khi đó
$ A\left ( { 0;\,-2m-1 } \right ) $, $ B\left ( { -\sqrt[] { \frac { -m-1 } { 2 } };\,-\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }-2m-1 } \right ) $, $ C\left ( { \sqrt[] { \frac { -m-1 } { 2 } };\,-\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }-2m-1 } \right ) $, là các điểm cực trị của đồ thị.
Ta thấy $ AB=AC=\sqrt[] { -\frac { m+1 } { 2 }+\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 4 } } { 16 } } $nên tam giác $ ABC $ cân tại $ A $.
Từ giả thiết suy ra $ A=120° $.
Gọi $ H $ là trung điểm $ BC $, ta có $ H\left ( { 0;\,-\frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }-2m-1 } \right ) $
$ BH=AHtan60°\Leftrightarrow \frac { \left ( { m+1 } \right ) ^ { 2 } } { 4 }.\sqrt[] { 3 }=\sqrt[] { -\frac { m+1 } { 2 } } $
$ \Leftrightarrow \frac { 3\left ( { m+1 } \right ) ^ { 4 } } { 16 }=-\frac { m+1 } { 2 }\Leftrightarrow 3\left ( { m+1 } \right ) ^ { 3 } =-8\Leftrightarrow m=-1-\frac { 2 } { \sqrt[3] { 3 } } $.