Bài tập nâng cao · Bài 4
Dạng 2. Tìm tham số để hàm số bậc ba có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 4
Với giá trị nào của tham số $ m $ để đồ thị hàm số $ y=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +m $ có hai điểm cực trị $ A $, $ B $ thỏa mãn $ OA=OB $ ($ O $ là gốc tọa độ)?
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định: $ D=\mathbb{R} $.
$ y'=3x ^ { 2 } -6x $, $ y'=0\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } -6x=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=2 \right. $.
Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là $ A\left ( { 0;m } \right ) $ và $ B\left ( { 2;-4+m } \right ) $.
Ta có $ OA=OB\Leftrightarrow \sqrt[] { 0 ^ { 2 } +m ^ { 2 } }=\sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { 4-m } \right ) ^ { 2 } }\Leftrightarrow m ^ { 2 } =4+\left ( { 4-m } \right ) ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow 20-8m=0\Leftrightarrow m=\frac { 5 } { 2 } $.
$ y'=3x ^ { 2 } -6x $, $ y'=0\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } -6x=0\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=2 \right. $.
Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là $ A\left ( { 0;m } \right ) $ và $ B\left ( { 2;-4+m } \right ) $.
Ta có $ OA=OB\Leftrightarrow \sqrt[] { 0 ^ { 2 } +m ^ { 2 } }=\sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { 4-m } \right ) ^ { 2 } }\Leftrightarrow m ^ { 2 } =4+\left ( { 4-m } \right ) ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow 20-8m=0\Leftrightarrow m=\frac { 5 } { 2 } $.