Bài tập nâng cao · Bài 3
Dạng 1. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 3
(Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2018) Tìm giá trị thực của tham số $ m $ để đường thẳng $ d:y=\left ( { 3m+1 } \right )x+3+m $ vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $ y=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } -1 $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét hàm số $ y=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } -1 $
Có : $ y'=3x ^ { 2 } -6x $, $ y=\left ( { \frac { 1 } { 3 }x-\frac { 1 } { 3 } } \right )y'-2x-1 $.
Do đó, đường thẳng $ \Delta $ qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là $ y=-2x-1 $.
Để $ d $ vuông góc với $ \Delta $ thì $ \left ( { 3m+1 } \right ).\left ( { -2 } \right )=-1 $ $ \Leftrightarrow m=-\frac { 1 } { 6 } $.
Vậy giá trị cần tìm của $ m $ là $ m=-\frac { 1 } { 6 } $.
Có : $ y'=3x ^ { 2 } -6x $, $ y=\left ( { \frac { 1 } { 3 }x-\frac { 1 } { 3 } } \right )y'-2x-1 $.
Do đó, đường thẳng $ \Delta $ qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là $ y=-2x-1 $.
Để $ d $ vuông góc với $ \Delta $ thì $ \left ( { 3m+1 } \right ).\left ( { -2 } \right )=-1 $ $ \Leftrightarrow m=-\frac { 1 } { 6 } $.
Vậy giá trị cần tìm của $ m $ là $ m=-\frac { 1 } { 6 } $.