Bài tập nâng cao · Bài 5
Dạng 2. Tìm tham số để hàm số bậc ba có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 5
(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $ m $ để đồ thị hàm số $ y=\frac { 2 } { 3 }x ^ { 3 } -mx ^ { 2 } -2\left ( { 3m ^ { 2 } -1 } \right )x+\frac { 2 } { 3 } $ có hai điểm cực trị có hoành độ $ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ sao cho $ x_{ 1 } x_{ 2 } +2\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right )=1 $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:$ y'=2x ^ { 2 } -2mx-2\left ( { 3m ^ { 2 } -1 } \right )=2\left ( { x ^ { 2 } -mx-3m ^ { 2 } +1 } \right ) $,
$ g\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -mx-3m ^ { 2 } +1 $ ; $ \Delta =13m ^ { 2 } -4 $.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $ y' $ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ $ g\left ( { x } \right ) $ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ $ \Delta >0 $$ \Leftrightarrow $ $ \left[ m>\frac { 2\sqrt[] { 13 } } { 13 } \\ m < -\frac { 2\sqrt[] { 13 } } { 13 } \right. $. (*)
$ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ là các nghiệm của $ g\left ( { x } \right ) $ nên theo định lý Vi-ét, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =m \\ x_{ 1 } x_{ 2 } =-3m ^ { 2 } +1 \end{array} \right. $.
Do đó $ x_{ 1 } x_{ 2 } +2\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right )=1 $ $ \Leftrightarrow $ $ -3m ^ { 2 } +2m+1=1 $ $ \Leftrightarrow $ $ -3m ^ { 2 } +2m=0 $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ m=0 \\ m=\frac { 2 } { 3 } \right. $.
Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ $ m=\frac { 2 } { 3 } $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$ g\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -mx-3m ^ { 2 } +1 $ ; $ \Delta =13m ^ { 2 } -4 $.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $ y' $ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ $ g\left ( { x } \right ) $ có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow $ $ \Delta >0 $$ \Leftrightarrow $ $ \left[ m>\frac { 2\sqrt[] { 13 } } { 13 } \\ m < -\frac { 2\sqrt[] { 13 } } { 13 } \right. $. (*)
$ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ là các nghiệm của $ g\left ( { x } \right ) $ nên theo định lý Vi-ét, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =m \\ x_{ 1 } x_{ 2 } =-3m ^ { 2 } +1 \end{array} \right. $.
Do đó $ x_{ 1 } x_{ 2 } +2\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right )=1 $ $ \Leftrightarrow $ $ -3m ^ { 2 } +2m+1=1 $ $ \Leftrightarrow $ $ -3m ^ { 2 } +2m=0 $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ m=0 \\ m=\frac { 2 } { 3 } \right. $.
Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ $ m=\frac { 2 } { 3 } $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.