Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 26
Cho hàm số $y=\sin x+\cos x$. Phương trình $y''=0$ có bao nhiêu nghiệm trong đoạn $\left[ 0;\,3\pi \right]$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $y'=\cos x-\sin x$; $y''=-\sin x-\cos x$
$\begin{array}{l} y''=0\Leftrightarrow -\sin x-\cos x=0 \\ \Leftrightarrow -\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=0 \end{array}$.
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=k\pi \,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \Leftrightarrow x=\frac{-\pi}{4}+k\pi \,\,(k\in \mathbb{Z}) \end{array}$
$\begin{array}{l} x\in \left[ 0;\,3\pi \right]\Rightarrow 0\leq \frac{-\pi}{4}+k\pi \leq 3\pi \,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4}\leq k\leq \frac{13}{4} \\ k\in \mathbb{Z} \end{array} \right.\Rightarrow k\in \left\{ 1;\,2;\,3 \right\} \end{array}$
Vậy phương trình $y''=0$ có ba nghiệm trong đoạn $\left[ 0;\,3\pi \right]$.
$\begin{array}{l} y''=0\Leftrightarrow -\sin x-\cos x=0 \\ \Leftrightarrow -\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=0 \end{array}$.
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=k\pi \,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \Leftrightarrow x=\frac{-\pi}{4}+k\pi \,\,(k\in \mathbb{Z}) \end{array}$
$\begin{array}{l} x\in \left[ 0;\,3\pi \right]\Rightarrow 0\leq \frac{-\pi}{4}+k\pi \leq 3\pi \,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4}\leq k\leq \frac{13}{4} \\ k\in \mathbb{Z} \end{array} \right.\Rightarrow k\in \left\{ 1;\,2;\,3 \right\} \end{array}$
Vậy phương trình $y''=0$ có ba nghiệm trong đoạn $\left[ 0;\,3\pi \right]$.