Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 27
Cho hàm số $y=-\sqrt{3}\cos x+\sin x-x^{2}+2021x+2022.$ Số nghiệm của phương trình $y''=0$ trong đoạn $\left[ 0;4\pi \right]$ là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $y'=\sqrt{3}\sin x+\cos x-2x+2021$
$\begin{array}{l} y''=\sqrt{3}\cos x-\sin x-2 \\ y''=0\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x-\sin x-2=0\Leftrightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos x=-2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=-1\Leftrightarrow \sin\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=-1 \\ \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{array}$
Vì $x\in \left[ 0;4\pi \right]\Rightarrow 0\leq -\frac{\pi}{6}+k2\pi \leq 4\pi \Leftrightarrow \frac{1}{12}\leq k\leq \frac{25}{12}$
Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}.$.
$\begin{array}{l} y''=\sqrt{3}\cos x-\sin x-2 \\ y''=0\Leftrightarrow \sqrt{3}\cos x-\sin x-2=0\Leftrightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos x=-2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=-1\Leftrightarrow \sin\left( x-\frac{\pi}{3} \right)=-1 \\ \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \end{array}$
Vì $x\in \left[ 0;4\pi \right]\Rightarrow 0\leq -\frac{\pi}{6}+k2\pi \leq 4\pi \Leftrightarrow \frac{1}{12}\leq k\leq \frac{25}{12}$
Mà $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{ 1;2 \right\}.$.