Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 25
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $\left[ x.f\left( x \right) \right]'+\left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{5}{2}x \right]=f\left( x \right)-2x$. Đạo hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại $x_{0}=2$ thuộc khoảng nào sau đây, biết đạo hàm cấp hai tại $x_{0}$ khác $0$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\left[ x.f\left( x \right) \right]'+\left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{5}{2}x \right]=f\left( x \right)-2x$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)+x.f'\left( x \right)+\left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{5}{2}x \right]=f\left( x \right)-2x$
$\Leftrightarrow x.\left[ f'\left( x \right)+2 \right]+\left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{5}{2}x \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{3}{2}x \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f'\left( x \right)=-2 \\ f'\left( x \right)=\frac{3}{2}x \end{array} \right.$
* Vì đạo hàm cấp hai của hàm số $y=f\left( x \right)$ khác $0$ nên $f'\left( x \right)=\frac{3}{2}x$.
Vậy $f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2}.2=3$.
$\Leftrightarrow f\left( x \right)+x.f'\left( x \right)+\left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{5}{2}x \right]=f\left( x \right)-2x$
$\Leftrightarrow x.\left[ f'\left( x \right)+2 \right]+\left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{5}{2}x \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ f'\left( x \right)+2 \right]\left[ f'\left( x \right)-\frac{3}{2}x \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f'\left( x \right)=-2 \\ f'\left( x \right)=\frac{3}{2}x \end{array} \right.$
* Vì đạo hàm cấp hai của hàm số $y=f\left( x \right)$ khác $0$ nên $f'\left( x \right)=\frac{3}{2}x$.
Vậy $f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2}.2=3$.