Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 35

Tịnh tiến hê trục tọa độ theo trục hoành sao cho $x_{1}≡0$. Khi đó, đồ thị hàm số có các điểm cực trị là: $A\left( 0;y_{A}\right),\,B\left( 1;y_{B}\right),\,C\left( 2;y_{C}\right),\,D\left( 3;y_{D}\right)$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right)=ax\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)$ với $a>0$
Và $f\left( x \right)=a\left( \frac{x^{5}}{5}-\frac{3}{2}x^{4} +\frac{11}{3}x^{3} -3x^{2} \right)+b$
* Theo đồ thị, ta có: $f\left( 3 \right)=0\Leftrightarrow b=\frac{9}{10}a$
Vậy $f\left( x \right)=a\left( \frac{x^{5}}{5}-\frac{3}{2}x^{4} +\frac{11}{3}x^{3} -3x^{2} +\frac{9}{10} \right)$
hay $f\left( x \right)=m\left( 6x^{5} -45x^{4} +110x^{3} -90x^{2} +27 \right)\,\left( m=\frac{a}{30} \right)$
* $S_{1}=\int _{0}^{1} { f\left( x \right)dx }=m\left | { \left( x^{6} -9x^{5} +\frac{55}{2}x^{4} -30x^{3} +27x \right) } \right ._{0}^{1}=\frac{33}{2}m$
$S_{2}=\int _{2}^{3} { f\left( x \right){ \rm{ d } }x }=m\left | { \left( x^{6} -9x^{5} +\frac{55}{2}x^{4} -30x^{3} +27x \right) } \right ._{2}^{3}=\frac{21}{2}m$
Vậy $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{11}{7}$