Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 34
Cho hàm số $f\left( x \right)=ax^{4} +bx^{2} +1\,\left( a\neq 0\,;\,a,b\in \mathbb{R} \right)$ mà đồ thị hàm số $f''$ và đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên $Oy$ (hình vẽ), trong đó $\pm x_{1}$ là nghiệm của $f\left( x \right)$ và $\pm x_{2}$ là nghiệm của $f''$ $\left( x_{1}>0\,;\,x_{2}>0 \right)$. Biết $x_{1}=3x_{2}$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $f\left( x \right)$; $f''$ và trục $Ox$:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$f''(x)=12ax^2+2b$.
Do đồ thị $y=f(x)$ và $y=f''(x)$ có một điểm chung duy nhất nằm trên $Oy$, nên giao điểm đó có hoành độ $0$ và
$f(0)=f''(0)\Leftrightarrow 1=2b\Leftrightarrow b=\frac12$.
Khi đó
$f''(x)=12ax^2+1$.
Vì $\pm x_2$ là hai nghiệm của $f''(x)=0$ nên
$x_2^2=-\frac{1}{12a}$, suy ra $a<0$.
Lại có $x_1=3x_2$, nên
$x_1^2=9x_2^2=-\frac{3}{4a}$.
Vì $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$,
$ax_1^4+\frac12x_1^2+1=0$.
Thay $x_1^2=-\frac{3}{4a}$ vào, ta được $a=-\frac{3}{16}$.
Vậy
$f(x)=-\frac{3}{16}x^4+\frac12x^2+1,\qquad f''(x)=-\frac94x^2+1$,
và $x_1=2$, $x_2=\frac23$.
Dựa vào tính đối xứng và vị trí các đồ thị trong hình,
\[
\begin{aligned}
S={}&2\int_0^{2/3}\bigl(f(x)-f''(x)\bigr)\,dx
+2\int_{2/3}^{2}f(x)\,dx\\
={}&2\int_0^{2/3}\left(-\frac{3}{16}x^4+\frac{11}{4}x^2\right)\,dx
+2\int_{2/3}^{2}\left(-\frac{3}{16}x^4+\frac12x^2+1\right)\,dx\\
={}&\frac{152}{45}.
\end{aligned}
\]
