Hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C_{1}\right)$ đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$; hàm số bậc hai $y=g\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C_{2}\right)$ đi qua điểm $B\left( 1;-4 \right).$ $\left( C_{1}\right),\left( C_{2}\right)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-1;2;3$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $\left( C_{1}\right),\left( C_{2}\right)$?

Question

Dạng 1. Ứng dụng diện tích Hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C_{1}\right)$ đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$; hàm số bậc hai $y=g\left( x \right)$ có đồ thị $\left( C_{2}\right)$ đi qua điểm $B\left( 1;-4 \right).$ $\left( C_{1}\right),\left( C_{2}\right)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-1;2;3$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $\left( C_{1}\right),\left( C_{2}\right)$?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Vì $\left( C_{1}ight),\left( C_{2}ight)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-1;2;3$ nên đa thức bậc ba $f(x)-g(x)$ có ba nghiệm $-1;2;3$. Do đó, $f(x)-g(x)=a\left( x+1 ight)\left( x-2 ight)\left( x-3 ight),$ với $a
eq 0.$ Mặt khác vì $\left( C_{1}ight)$ đi qua điểm $A\left( 1;0 ight)$; $\left( C_{2}ight)$ đi qua điểm $B\left( 1;-4 ight)$ nên $f\left( 1 ight)=0,g\left( 1 ight)=-4$. Do đó, $f\left( 1 ight)-g\left( 1 ight)=4$ Suy ra $a\left( 1+1 ight)\left( 1-2 ight)\left( 1-3 ight)=4\,$ hay $a=1$. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $\left( C_{1}ight),\left( C_{2}ight)$ là $\int _{ -1 }^{2} { \left | { \left( x+1 ight)\left( x-2 ight)\left( x-3 ight) } ight |{ m{ d } }x }+\int _{2}^{3} { \left | { \left( x+1 ight)\left( x-2 ight)\left( x-3 ight) } ight |{ m{ d } }x }=\frac{71}{6}$ (đvdt).

Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 33