Bài tập nâng cao · Bài 32
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 32
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn: $\int _{0}^{m} { \left| 3x^{2} -2x \right|dx=m-10 }$?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $I=\int _{0}^{m} { \left| 3x^{2} -2x \right|dx=m-10 }$; $f\left( x \right)=3x^{2} -2x$. Dấu của $f\left( x \right)$:
Xét các trường hợp sau:
+) Nếu $m < 0$: $I=\int _{0}^{m} { \left( 3x^{2} -2x \right)dx=\left( x^{3} -x^{2} \right)\mid m \\ 0=m^{3} -m^{2} =m-10 }$.
$\Rightarrow m^{3} -m^{2} -m+10=0\Leftrightarrow m=-2$( thỏa mãn).
+) Nếu $0\leq m < \frac{2}{3}$: $I=-\int _{0}^{m} { \left( 3x^{2} -2x \right)dx=-\left( x^{3} -x^{2} \right)\mid m \\ 0=-m^{3} +m^{2} =m-10 }$.
$\Rightarrow m^{3} -m^{2} +m-10=0\Leftrightarrow m\approx 2,36.$( loại).
+) Nếu $m\geq \frac{2}{3}$: $I=-\int _{0}^{\frac{2}{3} } { \left( 3x^{2} -2x \right)dx+ }\int _{ \frac{2}{3} }^{m} { \left( 3x^{2} -2x \right)dx=\frac{4}{27}+\left( x^{3} -x^{2} \right)\mid m \\ \frac{2}{3} }$
$=m^{3} -m^{2} +\frac{8}{27}=m-10\Rightarrow m^{3} -m^{2} -m+\frac{278}{27}=0\Leftrightarrow m\approx -2,02.$ ( loại).
Vậy có 1 giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.
Xét các trường hợp sau:
+) Nếu $m < 0$: $I=\int _{0}^{m} { \left( 3x^{2} -2x \right)dx=\left( x^{3} -x^{2} \right)\mid m \\ 0=m^{3} -m^{2} =m-10 }$.
$\Rightarrow m^{3} -m^{2} -m+10=0\Leftrightarrow m=-2$( thỏa mãn).
+) Nếu $0\leq m < \frac{2}{3}$: $I=-\int _{0}^{m} { \left( 3x^{2} -2x \right)dx=-\left( x^{3} -x^{2} \right)\mid m \\ 0=-m^{3} +m^{2} =m-10 }$.
$\Rightarrow m^{3} -m^{2} +m-10=0\Leftrightarrow m\approx 2,36.$( loại).
+) Nếu $m\geq \frac{2}{3}$: $I=-\int _{0}^{\frac{2}{3} } { \left( 3x^{2} -2x \right)dx+ }\int _{ \frac{2}{3} }^{m} { \left( 3x^{2} -2x \right)dx=\frac{4}{27}+\left( x^{3} -x^{2} \right)\mid m \\ \frac{2}{3} }$
$=m^{3} -m^{2} +\frac{8}{27}=m-10\Rightarrow m^{3} -m^{2} -m+\frac{278}{27}=0\Leftrightarrow m\approx -2,02.$ ( loại).
Vậy có 1 giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn bài toán.