Bài tập nâng cao · Bài 31
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 31
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x^{2} -2x}{x-1}$, đường thẳng $y=x-1$ và các đường thẳng $x=m$, $x=2m$ $\left( m>1 \right)$. Giá trị của $m$ sao cho $S=\ln 3$ là
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:
$\frac{x^{2} -2x}{x-1}=x-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\neq 1 \\ x^{2} -2x=\left( x-1 \right)^{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\neq 1 \\ x^{2} -2x=x^{2} -2x+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\in ∅$.
Phương trình vô nghiệm, suy ra hai đồ thị hàm số không có giao điểm.
Như vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\int _{m}^{2m} { \left | { \frac{x^{2} -2x}{x-1}-\left( x-1 \right) } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{m}^{2m} { \left| \frac{-1}{x-1} \right|{ \rm{ d } }x }=\int _{m}^{2m} { \left| \frac{1}{x-1} \right|{ \rm{ d } }x }$.
$=\left | { \int _{m}^{2m} { \frac{1}{x-1}{ \rm{ d } }\left( x-1 \right) } } \right |=\left | { \ln \left| x-1 \right|\mid 2m \\ m } \right |=\left | { \ln \left| x-1 \right|\mid 2m \\ m } \right |=\left | { \ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right) } \right |$ (do $m>1$).
Theo đề bài $S=\ln 3\Rightarrow \left | { \ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right) } \right |=\ln 3\Rightarrow \ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right)=\ln 3$ hoặc $\ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right)=-\ln 3$.
Suy ra $\left[ \frac{2m-1}{m-1}=3 \\ \frac{2m-1}{m-1}=\frac{1}{3} \right.\Leftrightarrow \left[ 2m-1=3\left( m-1 \right) \\ 3\left( 2m-1 \right)=m-1 \right.\Leftrightarrow \left[ m=2 \\ m=\frac{2}{5}\,\,\left( KTM \right) \right.$.
.
Vậy $m=2$.
$\frac{x^{2} -2x}{x-1}=x-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\neq 1 \\ x^{2} -2x=\left( x-1 \right)^{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\neq 1 \\ x^{2} -2x=x^{2} -2x+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\in ∅$.
Phương trình vô nghiệm, suy ra hai đồ thị hàm số không có giao điểm.
Như vậy diện tích hình phẳng cần tính là:
$S=\int _{m}^{2m} { \left | { \frac{x^{2} -2x}{x-1}-\left( x-1 \right) } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{m}^{2m} { \left| \frac{-1}{x-1} \right|{ \rm{ d } }x }=\int _{m}^{2m} { \left| \frac{1}{x-1} \right|{ \rm{ d } }x }$.
$=\left | { \int _{m}^{2m} { \frac{1}{x-1}{ \rm{ d } }\left( x-1 \right) } } \right |=\left | { \ln \left| x-1 \right|\mid 2m \\ m } \right |=\left | { \ln \left| x-1 \right|\mid 2m \\ m } \right |=\left | { \ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right) } \right |$ (do $m>1$).
Theo đề bài $S=\ln 3\Rightarrow \left | { \ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right) } \right |=\ln 3\Rightarrow \ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right)=\ln 3$ hoặc $\ln \left( \frac{2m-1}{m-1} \right)=-\ln 3$.
Suy ra $\left[ \frac{2m-1}{m-1}=3 \\ \frac{2m-1}{m-1}=\frac{1}{3} \right.\Leftrightarrow \left[ 2m-1=3\left( m-1 \right) \\ 3\left( 2m-1 \right)=m-1 \right.\Leftrightarrow \left[ m=2 \\ m=\frac{2}{5}\,\,\left( KTM \right) \right.$.
.
Vậy $m=2$.