Bài tập nâng cao · Bài 30
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 30
Cho hai hàm số $f\left( x \right)=ax^{3} +bx^{2} +cx-2,\,\,g\left( x \right)=dx^{2} +ex+2\,\,\left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)$. Biết đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $-2;\,-1;\,1$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $f\left( x \right)=ax^{3} +bx^{2} +cx-2,\,\,g\left( x \right)=dx^{2} +ex+2\,\,\left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=ax^{3} +\left( b-d \right)x^{2} +\left( c-e \right)x-4$ (1)
Vì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
$-2;\,-1;\,1$ $\Rightarrow$$f\left( x \right)-g\left( x \right)=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$ (2)
Từ (1) và $\left( 2 \right)$ suy ra: $-2a=-4\Rightarrow a=2$.
Do đó $f\left( x \right)-g\left( x \right)=2\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$
Vậy $S=\int _{ -2 }^{1} { \left | { 2\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right) } \right |{ \rm{ d } }x }=\frac{37}{6}$.
$\Rightarrow f\left( x \right)-g\left( x \right)=ax^{3} +\left( b-d \right)x^{2} +\left( c-e \right)x-4$ (1)
Vì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
$-2;\,-1;\,1$ $\Rightarrow$$f\left( x \right)-g\left( x \right)=a\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$ (2)
Từ (1) và $\left( 2 \right)$ suy ra: $-2a=-4\Rightarrow a=2$.
Do đó $f\left( x \right)-g\left( x \right)=2\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)$
Vậy $S=\int _{ -2 }^{1} { \left | { 2\left( x+2 \right)\left( x+1 \right)\left( x-1 \right) } \right |{ \rm{ d } }x }=\frac{37}{6}$.