Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 29

Không mất tính tổng quát, ta tịnh tiến đồ thị sang phải $\frac{3}{2}$ đơn vị, khi đó ta có đồ thị như sau:

Từ đó ta có đồ thị hàm $y=f\left( x \right)$ là đồ thị của hàm bậc bốn trùng phương hay $f\left( x \right)=ax^{4} +bx^{2} +c\left( a\neq 0 \right)$ suy ra $f'\left( x \right)=4ax^{3} +2bx$.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
$\left\{ \begin{array}{l} f\left( \frac{3}{2} \right)=0 \\ f'\left( \frac{3}{2} \right)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{81}{16}a+\frac{9}{4}b+c=0 \\ \frac{27}{2}a+3b=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=-\frac{2b}{9} \\ c=\frac{-9b}{8} \end{array} \right.$.
Đặt $b=-72k\Rightarrow a=16k,c=81k\left( k>0 \right)$.
Khi đó ta có $f\left( x \right)=16kx^{4} -72kx^{2} +81k,f'\left( x \right)=64kx^{3} -144kx$, phương trình hoành độ giao điểm: $f\left( x \right)=f'\left( x \right)\Leftrightarrow 16kx^{4} -64kx^{3} -72kx^{2} +144kx+81k=0\Leftrightarrow \left[ x=\pm \frac{3}{2} \\ x=-\frac{1}{2} \\ x=\frac{9}{2} \right.$.
Do đó diện tích hình phẳng tô đậm là:
$S=k\left ( { \left | { \int _{ -\frac{3}{2} }^{\frac{-1}{2} } { \left( 16x^{4} -64x^{3} -72x^{2} +144x+81 \right){ \rm{ d } }x } } \right |+\left | { \int _{ -\frac{1}{2} }^{\frac{3}{2} } { \left( 16x^{4} -64x^{3} -72x^{2} +144x+81 \right){ \rm{ d } }x } } \right | } \right ) \\ =\frac{1016}{5}k$.
Từ đề bài $S=\frac{127}{50}\Rightarrow k=\frac{1}{80}\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{5}x^{4} -\frac{9}{10}x^{2} +\frac{81}{80}$, dựa vào đồ thị thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và trục hoành là $S=\int _{ \frac{-3}{2} }^{\frac{3}{2} } { \left( \frac{1}{5}x^{4} -\frac{9}{10}x^{2} +\frac{81}{80} \right){ \rm{ d } }x }=\frac{81}{50}$.