Bài tập nâng cao · Bài 28
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 28
Cho hàm số $y=\frac{x-m^{2}}{x+1}$( với $m$ là tham số khác $0$) có đồ thị là $\left( C \right)$. Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thi và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của $m$ thỏa mãn $S=1$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\left( C \right)∩Ox=A\left( m^{2} ;0 \right)$,$\left( C \right)∩Oy=B\left( 0;-m^{2} \right)$.
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thi và hai trục tọa độ là:
$S=\int _{0}^{m ^ { 2} } { \left| \frac{x-m^{2}}{x+1} \right| }dx=-\int _{0}^{m ^ { 2} } { \frac{x-m^{2}}{x+1} }dx=\int _{0}^{m ^ { 2} } { \left( \frac{m^{2} +1}{x+1}-1 \right) }dx$
$=\left ( { \left( m^{2} +1 \right)\ln \left| x+1 \right|-x } \right )\mid _{0}^{m ^ { 2} }=\left( m^{2} +1 \right)\ln \left| m^{2} +1 \right|-m^{2}$.
Để $S=1$ thì $\left( m^{2} +1 \right)\ln \left| m^{2} +1 \right|-m^{2} =1$$\Leftrightarrow \ln \left( m^{2} +1 \right)=1\Leftrightarrow m^{2} +1=e\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{e-1}$.
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thi và hai trục tọa độ là:
$S=\int _{0}^{m ^ { 2} } { \left| \frac{x-m^{2}}{x+1} \right| }dx=-\int _{0}^{m ^ { 2} } { \frac{x-m^{2}}{x+1} }dx=\int _{0}^{m ^ { 2} } { \left( \frac{m^{2} +1}{x+1}-1 \right) }dx$
$=\left ( { \left( m^{2} +1 \right)\ln \left| x+1 \right|-x } \right )\mid _{0}^{m ^ { 2} }=\left( m^{2} +1 \right)\ln \left| m^{2} +1 \right|-m^{2}$.
Để $S=1$ thì $\left( m^{2} +1 \right)\ln \left| m^{2} +1 \right|-m^{2} =1$$\Leftrightarrow \ln \left( m^{2} +1 \right)=1\Leftrightarrow m^{2} +1=e\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{e-1}$.