Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 27
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500 { \rm{ m } }$, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau $40 { \rm{ m } }$, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng $5 { \rm{ m } }$. Bề dày và bề rộng của nhịp cầu không đồi là $20 { \rm{ c } }{ \rm{ m } }$ (mặt cắt của một nhịp cầu được mô phỏng như hình vẽ). Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị).
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc ${ \rm{ O } }(0;0)$ là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh $I\left( 25;2 \right)$, điểm $A\left( 50;0 \right)$ (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế).
Gọi Parabol trên có phương trình $\left( P_{1}\right):y_{1}=ax^{2} +bx$ (do (P) đi qua $O$).
$\Rightarrow$ Phương trình parabol dưới $\left( P_{2}\right):y_{2}=ax^{2} +bx-\frac{20}{100}=ax^{2} +bx-\frac{1}{5}$.
Ta có $\left( P_{1}\right)$ đi qua $I\left( 25;2 \right)$ và $A\left( 50;0 \right)$ $\Rightarrow \left( P_{1}\right):y_{1}=-\frac{2}{625}x^{2} +\frac{4}{25}x\Rightarrow y_{2}=-\frac{2}{625}x^{2} +\frac{4}{25}x-\frac{1}{5}$
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là $S=2S_{1}$ với $S_{1}$ là phần giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ trong khoảng $(0;25)$ $S=2\left ( { \int _{0}^{0,2} { \left( -\frac{2}{625}x^{2} +\frac{4}{25}x \right) }dx+\int _{ 0,2 }^{25} { \frac{1}{5} }dx } \right )\approx 9,9m^{2}$.
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày $V=S.0,2\approx 9,9.0,2\approx 1,98m^{3} \Rightarrow$ số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu $\approx 2m^{3}$.
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần $\approx 40m^{3}$ bê tông.
