Trong một phân xưởng, tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của một dây chuyền sản xuất là $ 0,2\% $. Nhân viên quản lí chất lượng chọn ngẫu nhiên một cách độc lập $ N $ sản phẩm của dây chuyền sản xuất để kiểm tra.
a) Tính xác suất để nhân viên quản lí chất lượng tìm ra ít nhất một sản phẩm bị lỗi khi $ N=10 $.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $ N $ sao cho xác suất tìm ra ít nhất một sản phẩm bị lỗi lớn hơn 0,9.
(Làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.)

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $ T $ là phép thử "Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của dây chuyền", $ A $ là biến cố "Sản phẩm lấy ra bị lỗi" và $ X $ là số lần xảy ra biến cố $ A $ khi lặp $ N $ lần phép thử $ T $. Do phép thử $ T $ được thực hiện $ N $ lần độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi lần thử đều bằng 0,002 nên $ X $ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $ B(N;0,002) $. a) Khi $ N=10 $ thì xác suất tìm ra ít nhất một sản phẩm lỗi là $ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0,998 ^ { 10 } \approx 0,020. $ b) Xác suất tìm ra ít nhất một sản phẩm lỗi trong $ N $ sản phẩm được kiểm tra là $ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0,998 ^ { N } >0,9\Leftrightarrow 0,998 ^ { N } < 0,1\Leftrightarrow N>\frac { ln0,1 } { ln0,998 } $. Do $ \frac { ln0,1 } { ln0,998 }\approx 1150,141 $ nên giá trị nhỏ nhất của $ N $ thoả mãn yêu cầu đề bài là 1151.

Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 34