Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 34
Người ta thiết kế một đường dây tải điện nối từ trạm biến áp ở vị trí $A$ đến trạm biến áp ở vị trí $C$. Do điều kiện thực tế nên phương án thiết kế được đưa ra như sau:
- Chọn điểm $B$ sao cho $\widehat{ABC}=90^{\circ}$.
- Chọn một vị trí là điểm $S$ nằm giữa $A$ và $B$ để mắc đường dây tải điện đi từ $A$ đến $S$, rồi từ $S$ đến $C$ như ở Hình.
Biết rằng $AB=4$ km, $BC=1$ km, chi phí lắp đặt mỗi kilômét dây điện trên quãng đường $AS,SC$ lần lượt là 30 triệu đồng và 50 triệu đồng. Tính độ dài đoạn thẳng $AS$ để chi phí mắc đường dây điện là nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử $AS=x$ (km) ($0<x<4$). Suy ra $BS=4-x$, $SC=\sqrt{1+(4-x)^2}$.
Vì vậy, tổng chi phí để mắc đường dây tải điện $ASC$ là: $T=30x+50\sqrt{1+(4-x)^2}$ (triệu đồng).
Xét hàm số: $f(x)=30x+50\sqrt{1+(4-x)^2}$, $x\in(0;4)$.
Ta có: $f'(x)=30+50\cdot\frac{-(4-x)}{\sqrt{1+(4-x)^2}}$;
$f'(x)=0\Leftrightarrow3\sqrt{1+(4-x)^2}=5(4-x)\Leftrightarrow(4-x)^2=\frac{9}{16}\Leftrightarrow x=\frac{13}{4}$ (do $0<x<4$).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: $\min_{(0;4)}f(x)=f\left(\frac{13}{4}\right)=160$ tại $x=\frac{13}{4}$.
Vậy độ dài đoạn thẳng $AS$ là $\frac{13}{4}$ km để chi phí mắc đường dây điện là nhỏ nhất.
