Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính $ 5 cm $. Khoảng cách $ h( cm) $ từ chất điểm đến trục hoành được tính theo công thức $ h=\|y\| $, trong đó $ y=asin\left ( { \frac { \pi } { 5 }t } \right ) $ với $ t $ là thời gian chuyển động của chất điểm tính bằng giây $ (t\geq 0) $ và chất điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí $ A $ (Hình 16$ ) $.
a) Chất điểm chuyển động một vòng hết bao nhiêu giây?
b) Tìm giá trị của $ a $.
c) Tìm thời điểm sao cho chất điểm ở vị trí có $ h=2,5 cm $ và nằm phía dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.
Xem lời giải
Lời giải
a) Xét $ h=0 $ hay $ asin\left ( { \frac { \pi } { 5 }t } \right )=0\Leftrightarrow t=5k $ với $ k\in \mathbb{Z} $ và $ k\geq 0 $.
Ta nhận thấy, từ thời điểm ban đầu, cứ sau 5 giây, khoảng cách từ chất điểm đến trục hoành lại bằng 0. Suy ra sau mỗi 5 giây, chất điểm chuyển động được nửa vòng. Vậy chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây.
b) Do chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây nên khi $ t=2,5 $ giây thì chất điểm chuyển động được một phần tư vòng theo chiều dương, suy ra tại $ t=2,5 $ ta có $ y=\|y\|=h=5\Leftrightarrow asin\left ( { \frac { \pi } { 5 }\cdot \frac { 5 } { 2 } } \right )=5\Leftrightarrow a=5 $.
c) Từ kết quả câu $ b $, ta có: $ y=5sin\left ( { \frac { \pi } { 5 }t } \right ) $. Do $ h=2,5 cm $ và chất điểm nằm ở dưới trục hoành nên $ y=-2,5 $. Với $ y=-2,5 $, ta có:
$5\sin\left(\frac{\pi}{5}t\right)=-2,5
\Leftrightarrow \sin\left(\frac{\pi}{5}t\right)=-\frac12
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
\frac{\pi}{5}t=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
\frac{\pi}{5}t=\frac{7\pi}{6}+2k\pi
\end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left[\begin{array}{l}
t=\frac{-5+60k}{6}\\
t=\frac{35+60k}{6}
\end{array}\right.,\ k\in\mathbb{Z}$.
Với vòng quay đầu tiên thì $ 0\leq t\leq 10 $, do đó $ t=\frac { 35 } { 6 },t=\frac { 55 } { 6 } $.
Vậy tại thời điểm $ t=\frac { 35 } { 6 } $ giây, $ t=\frac { 55 } { 6 } $ giây thì chất điểm ở vị trí có $ h=2,5 cm $ và nằm ở dưới trục hoành.
