Bài tự luận · Bài 18
Dạng 1. Tìm nguyên hàm của một hàm số Phương pháp: Sủ dụng công thức $ \int { F ^ { ′ } }(x)dx=F(x)+C $ với $ F(x) $ là hàm số có đạo hàm liên tục và các tính chất của nguyên hàm.
Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 18
(KNTT12) Tìm:
a) $\int { \left( e^{2x} +e^{-x} \right) }dx$
b) $\int { \left( 2^{x} -1 \right)^{2} }dx$
a) $\int { \left( e^{2x} +e^{-x} \right) }dx$
b) $\int { \left( 2^{x} -1 \right)^{2} }dx$
Xem lời giải
Lời giải
a) $\int(e^{2x}+e^{-x})dx=\int e^{2x}dx+\int e^{-x}dx$
$=\int(e^2)^x dx+\int(e^{-1})^x dx=\frac{(e^2)^x}{\ln e^2}+\frac{(e^{-1})^x}{\ln e^{-1}}+C$
$=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{e^{-x}}{-1}+C=\frac12e^{2x}-e^{-x}+C$.
b) Ta có: $\left( 2^{x} -1 \right)^{2} =\left( 2^{x} \right)^{2} -2\cdot 2^{x} +1=4^{x} -2\cdot 2^{x} +1$.
Do đó:
$\int { \left( 2^{x} -1 \right)^{2} }dx=\int { 4^{x} }dx-\int { 2 }\cdot 2^{x} dx+\int { 1 }dx \\ =\frac{4^{x}}{\ln 4}-2\cdot \frac{2^{x}}{\ln 2}+x+C=\frac{4^{x}}{2\ln 2}-\frac{2^{x+1}}{\ln 2}+x+C$
Chú ý. Với $k$ là hằng số khác 0, ta có:
$\int { e^{kx} }dx=\frac{e^{kx}}{k}+C;\int { a^{kx} }dx=\frac{a^{kx}}{k\ln a}+C(0 < a\neq 1){ \rm{ . } }$
$=\int(e^2)^x dx+\int(e^{-1})^x dx=\frac{(e^2)^x}{\ln e^2}+\frac{(e^{-1})^x}{\ln e^{-1}}+C$
$=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{e^{-x}}{-1}+C=\frac12e^{2x}-e^{-x}+C$.
b) Ta có: $\left( 2^{x} -1 \right)^{2} =\left( 2^{x} \right)^{2} -2\cdot 2^{x} +1=4^{x} -2\cdot 2^{x} +1$.
Do đó:
$\int { \left( 2^{x} -1 \right)^{2} }dx=\int { 4^{x} }dx-\int { 2 }\cdot 2^{x} dx+\int { 1 }dx \\ =\frac{4^{x}}{\ln 4}-2\cdot \frac{2^{x}}{\ln 2}+x+C=\frac{4^{x}}{2\ln 2}-\frac{2^{x+1}}{\ln 2}+x+C$
Chú ý. Với $k$ là hằng số khác 0, ta có:
$\int { e^{kx} }dx=\frac{e^{kx}}{k}+C;\int { a^{kx} }dx=\frac{a^{kx}}{k\ln a}+C(0 < a\neq 1){ \rm{ . } }$