(KNTT12) Tìm:
a) $\int { \left( 3\sin x+\frac{1}{\cos^{2} x } \right) }dx$;
b) $\int { \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} \right)^{2} }dx$
c) $\int { \left( \frac{1}{\sin^{2} x }-\frac{1}{\cos^{2} x } \right) }dx$
d) $\int { \tan^{2} }xdx$

Question

Dạng 1. Tìm nguyên hàm của một hàm số Phương pháp: Sủ dụng công thức $ \int { F ^ { ′ } }(x)dx=F(x)+C $ với $ F(x) $ là hàm số có đạo hàm liên tục và các tính chất của nguyên hàm. (KNTT12) Tìm: a) $\int { \left( 3\sin x+\frac{1}{\cos^{2} x } ight) }dx$; b) $\int { \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} ight)^{2} }dx$ c) $\int { \left( \frac{1}{\sin^{2} x }-\frac{1}{\cos^{2} x } ight) }dx$ d) $\int { 	an^{2} }xdx$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) $\int { \left( 3\sin x+\frac{1}{\cos^{2} x } ight) }dx=\int { 3 }\sin xdx+\int { \frac{1}{\cos^{2} x } }dx$ $=3(-\cos x)+	an x+C=-3\cos x+	an x+C$. b) Ta có: $\left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} ight)^{2} =\sin^{2} \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^{2} \frac{x}{2}=1+\sin x$ Do đó: $\int { \left( \sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2} ight)^{2} }dx=\int { 1 }dx+\int { \sin }xdx=x-\cos x+C{ m{ . } }$ c) $\int { \left( \frac{1}{\sin^{2} x }-\frac{1}{\cos^{2} x } ight) }dx=\int { \frac{1}{\sin^{2} x } }dx-\int { \frac{1}{\cos^{2} x } }dx=-\cot x-	an x+C$ $=-\frac{1}{\sin x\cos x}+C=-\frac{2}{\sin 2x}+C{ m{ . } }$ d) Ta có: $	an^{2} x=\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }=\frac{1-\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=\frac{1}{\cos^{2} x }-1$ Do đó: $\int { 	an^{2} }xdx=\int { \frac{1}{\cos^{2} x } }dx-\int { 1 }dx=	an x-x+C$ Chú ý. Ta có thể sử dụng công thức biến đổi $1+	an^{2} x=\frac{1}{\cos^{2} x }$.

Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 19