Bài tự luận · Bài 17
Dạng 1. Tìm nguyên hàm của một hàm số Phương pháp: Sủ dụng công thức $ \int { F ^ { ′ } }(x)dx=F(x)+C $ với $ F(x) $ là hàm số có đạo hàm liên tục và các tính chất của nguyên hàm.
Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 17
(KNTT12) Tìm:
a) $\int { 4 }x(x-1)^{2} dx$
b) $\int { \frac{(2x+1)^{2}}{x^{3} } }dx$
a) $\int { 4 }x(x-1)^{2} dx$
b) $\int { \frac{(2x+1)^{2}}{x^{3} } }dx$
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $4x(x-1)^{2} =4x\left( x^{2} -2x+1 \right)=4x^{3} -8x^{2} +4x$.
Do đó:
$\int { 4 }x(x-1)^{2} dx=\int { 4 }x^{3} dx-\int { 8 }x^{2} dx+\int { 4 }xdx \\ =4\cdot \frac{x^{4}}{4}-8\cdot \frac{x^{3}}{3}+4\cdot \frac{x^{2}}{2}+C=x^{4} -\frac{8}{3}x^{3} +2x^{2} +C$
b) Ta có: $\frac{(2x+1)^{2}}{x^{3} }=\frac{4x^{2} +4x+1}{x^{3} }=\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2} }+\frac{1}{x^{3} }$.
Do đó:
$\int { \frac{(2x+1)^{2}}{x^{3} } }dx=\int { \frac{4}{x} }dx+\int { \frac{4}{x^{2} } }dx+\int { \frac{1}{x^{3} } }dx \\ =4\ln \mid x\mid +4\left( -\frac{1}{x} \right)+\frac{x^{-2}}{-2}+C=4\ln \mid x\mid -\frac{4}{x}-\frac{1}{2x^{2} }+C$
Do đó:
$\int { 4 }x(x-1)^{2} dx=\int { 4 }x^{3} dx-\int { 8 }x^{2} dx+\int { 4 }xdx \\ =4\cdot \frac{x^{4}}{4}-8\cdot \frac{x^{3}}{3}+4\cdot \frac{x^{2}}{2}+C=x^{4} -\frac{8}{3}x^{3} +2x^{2} +C$
b) Ta có: $\frac{(2x+1)^{2}}{x^{3} }=\frac{4x^{2} +4x+1}{x^{3} }=\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2} }+\frac{1}{x^{3} }$.
Do đó:
$\int { \frac{(2x+1)^{2}}{x^{3} } }dx=\int { \frac{4}{x} }dx+\int { \frac{4}{x^{2} } }dx+\int { \frac{1}{x^{3} } }dx \\ =4\ln \mid x\mid +4\left( -\frac{1}{x} \right)+\frac{x^{-2}}{-2}+C=4\ln \mid x\mid -\frac{4}{x}-\frac{1}{2x^{2} }+C$