Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 6
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$.
Xem lời giải
Lời giải
Áp dụng định lí trung tuyến trong tam giác ta có
$m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}$; $m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$; $m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$.
Từ đó suy ra $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$.
$m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}$; $m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$; $m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$.
Từ đó suy ra $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$.