Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 5
Tam giác $ABC$ có $bc=a^2$. Chứng minh rằng
a) $\sin^2A=\sin B\cdot\sin C$.
b) $h_b\cdot h_c=h_a^2$.
a) $\sin^2A=\sin B\cdot\sin C$.
b) $h_b\cdot h_c=h_a^2$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo giả thiết ta có $a^2=bc$.
Thay $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ vào hệ thức trên ta được
$4R^2\sin^2A=2R\sin B\cdot2R\sin C\Rightarrow\sin^2A=\sin B\cdot\sin C$.
b) Ta có $2S=ah_a=bh_b=ch_c\Rightarrow a^2h_a^2=bh_b\cdot ch_c$.
Theo giả thiết $a^2=bc$ nên suy ra $h_a^2=h_b\cdot h_c$.
Thay $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ vào hệ thức trên ta được
$4R^2\sin^2A=2R\sin B\cdot2R\sin C\Rightarrow\sin^2A=\sin B\cdot\sin C$.
b) Ta có $2S=ah_a=bh_b=ch_c\Rightarrow a^2h_a^2=bh_b\cdot ch_c$.
Theo giả thiết $a^2=bc$ nên suy ra $h_a^2=h_b\cdot h_c$.