Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 4
Tam giác $ABC$ có $b+c=2a$. Chứng minh rằng
a) $2\sin A=\sin B+\sin C$.
b) $\frac{2}{h_a}=\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.
a) $2\sin A=\sin B+\sin C$.
b) $\frac{2}{h_a}=\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo định lí sin ta có $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b+c}{\sin B+\sin C}=\frac{2a}{\sin B+\sin C}\Rightarrow2\sin A=\sin B+\sin C$.
Cách khác: $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$.
Nên $b+c=2a\Rightarrow2R\sin B+2R\sin C=2\cdot2R\sin A\Rightarrow\sin B+\sin C=2\sin A$.
b) Ta có $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\Rightarrow\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S};\frac{1}{h_b}=\frac{b}{2S};\frac{1}{h_c}=\frac{c}{2S}$.
Do đó $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\Rightarrow\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S};\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{2S}(b+c)=\frac{1}{2S}2a=\frac{2}{h_a}$.
Cách khác: $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$.
Nên $b+c=2a\Rightarrow2R\sin B+2R\sin C=2\cdot2R\sin A\Rightarrow\sin B+\sin C=2\sin A$.
b) Ta có $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\Rightarrow\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S};\frac{1}{h_b}=\frac{b}{2S};\frac{1}{h_c}=\frac{c}{2S}$.
Do đó $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c\Rightarrow\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S};\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{2S}(b+c)=\frac{1}{2S}2a=\frac{2}{h_a}$.