Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 3

Ta có $BC=8\Rightarrow BM=4$. Đặt $AM=x$.
Theo định lí cô-sin ta có $\cos\widehat{AMB}=\frac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM\cdot BM}$.
Suy ra $\frac{5\sqrt{13}}{26}=\frac{x^2+16-9}{8x}\Leftrightarrow13x^2-20\sqrt{13}x+91=0$
$\Leftrightarrow x=\sqrt{13}$ hoặc $x=\frac{7\sqrt{13}}{13}$.
Theo công thức tính đường trung tuyến ta có $AM^2=\frac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}$.
* Nếu $x=\sqrt{13}\Rightarrow13=\frac{2(3^2+AC^2)-8^2}{4}\Rightarrow AC=7$.
Ta có $BC>AC>AB$, góc $A$ lớn nhất.
Theo định lí cô-sin ta có $\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=-\frac{1}{7}$.
Suy ra $A\approx98^\circ12'$.
* Nếu $x=\frac{7\sqrt{13}}{13}\Rightarrow\frac{49}{13}=\frac{2(3^2+AC^2)-8^2}{4}\Rightarrow AC=\sqrt{\frac{397}{13}}$.
Ta có $BC>AC>AB$, góc $A$ lớn nhất.
Theo định lí cô-sin ta có $\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}=-\frac{53}{\sqrt{5161}}$.
Suy ra $A\approx137^\circ32'$.