Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 7
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh
$GA^2+GB^2+GC^2=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$.
$GA^2+GB^2+GC^2=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$.
Xem lời giải
Lời giải
Theo tính chất của trọng tâm, ta có $GA=\frac{2}{3}m_a;GB=\frac{2}{3}m_b;GC=\frac{2}{3}m_c$. Nên $GA^2+GB^2+GC^2=\left(\frac{2}{3}m_a\right)^2+\left(\frac{2}{3}m_b\right)^2+\left(\frac{2}{3}m_c\right)^2=\frac{4}{9}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)$
$=\frac{4}{9}\left(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$.
$=\frac{4}{9}\left(\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$.