Một chiếc lều trẻ em có dạng hình chóp tứ giác đều cao 1,5m; số đo nhị diện giữa mặt bên và mặt đáy chiếc lều bằng $ 60° $. Hỏi diện tích vải để phủ kín các mặt bên của chiếc lều bằng bao nhiêu mét vuông?

Giả sử chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $, $ O $ là tâm hình vuông $ ABCD $. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { SBC } \right )∩\left ( { ABCD } \right )=BC \\ OM⊥BC \\ SM⊥BC \end{array} \right.⇒ $góc nhị diện giữa mặt bên và mặt đáy là $ \widehat { SMO }=60° $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} SO⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ OM⊂\left ( { ABCD } \right ) \end{array} \right.⇒SO⊥OM⇒\vartriangle SOM $ vuông tại $ O $. Do đó, $ \tan \widehat { SMO }=\frac { SO } { OM } $ $ ⇒\tan60°=\frac { 1,5 } { OM } $ $ ⇒OM=\frac { 1,5 } { \tan60° }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { { \rm{ m } } } \right ) $ Mặt khác, $ \sin \widehat { SMO }=\frac { SO } { SM } $. $ ⇒SM=\frac { SO } { \sin \widehat { SMO } }=\frac { 1,5 } { \sin60° }=\sqrt[] { 3 }\left ( { { \rm{ m } } } \right ) $ Ta có $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $ nên $ AB=BC=CD=DA=\sqrt[] { 3 }\left ( { { \rm{ m } } } \right ) $. Diện tích mỗi mặt bên của lều $ S_{ \vartriangle SBC } =\frac { 1 } { 2 }SM.BC=\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 3 }.\sqrt[] { 3 }=\frac { 3 } { 2 }\left ( { { \rm{ m } } ^ { 2 } } \right ) $. Diện tích vải để phủ kín các mặt bên của chiếc lều bằng $ 4S_{ \vartriangle SBC } =4.\frac { 3 } { 2 }=6\left ( { { \rm{ m } } ^ { 2 } } \right ) $