Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 7

1) Tập xác định: $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
2) Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: $y=-x-\frac{4}{x-2}$.
$\lim_{x\to+\infty}y=-\infty,\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$. $\lim_{x\to2^-}y=+\infty,\lim_{x\to2^+}y=-\infty$.
Do đó, đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\lim_{x\to+\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{x-2}=0,\lim_{x\to-\infty}[y-(-x)]=\lim_{x\to-\infty}\frac{-4}{x-2}=0$.
Do đó, đường thẳng $y=-x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Bảng biến thiên: $y'=\frac{-x^2+4x}{(x-2)^2}$
$y'=0\Leftrightarrow-x^2+4x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=4$.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(4;+\infty)$; đồng biến trên mỗi khoảng $(0;2)$ và $(2;4)$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,y_{\mathrm{CT}}=2$; đạt cực đại tại $x=4,y_{\mathrm{CĐ}}=-6$.
3) Đồ thị
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: $(0;2)$.
- Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(-2;3),(0;2)$, $(1;3),(3;-7),(4;-6),(6;-7)$.
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ được cho ở Hình.
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(2;-2)$ của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.