Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-4x+8}{x-2}$.
Tập xác định: $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
Sự biến thiên: Ta có $y=x-2+\frac{4}{x-2}$.
- $y'=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2},y'=0$ khi và chỉ khi $x=0$ hoặc $x=4$.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;0)$ và $(4;+\infty)$, nghịch biến trên từng khoảng $(0;2)$ và $(2;4)$.
- Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{\mathrm{CĐ}}=-4$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=4$ với $y_{\mathrm{CT}}=4$.
- Tiệm cận: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-2$.
- Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;-4)$, đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm $(2;0)$, hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+1}$.
Tập xác định: $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.
Sự biến thiên: Ta có $y=2x+1-\frac{6}{x+1}$.
- $y'=\frac{2x^2+4x+8}{(x+1)^2},y'>0$ với mọi $x\neq-1$.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-1)$ và $(-1;+\infty)$.
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$, tiệm cận xiên là đường thẳng $y=2x+1$.
- Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;-5)$, cắt trục hoành tại các điểm $\left(-\frac{5}{2};0\right)$ và $(1;0)$, có tâm đối xứng là điểm $(-1;-1)$. Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.