Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 5

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{3x+5}{x+2}$.
Tập xác định: $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
Sự biến thiên:

- $y'=\frac{1}{(x+2)^2}>0$ với mọi $x\neq-2$.
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$.
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $\left(0;\frac{5}{2}\right)$, cắt trục hoành tại điểm $\left(-\frac{5}{3};0\right)$, có tâm đối xứng là điểm $(-2;3)$. Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$.
Tập xác định: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Sự biến thiên:
- $y'=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ với mọi $x\neq1$.
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
- Hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$.
- Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm $(0;1)$, cắt trục hoành tại điểm $\left(\frac{1}{2};0\right)$, có tâm đối xứng là điểm $(1;2)$. Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.