Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Đường thẳng $BN$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $E\left(\frac{16}{3};1\right)$. Phương trình đường thẳng $CM$ là $x-3y+1=0$. Biết $C(a;b)$ với $a

Question

Dạng 2. Tìm điểm Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Đường thẳng $BN$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $E\left(\frac{16}{3};1\right)$. Phương trình đường thẳng $CM$ là $x-3y+1=0$. Biết $C(a;b)$ với $a<3$. Tính $S=a+b$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/227d30dd1ea265b03663bba94e8f492b/F. BAI TAP NANG CAO/image1178.png] Từ giả thiết ta có $BM=CN=BC=MN$ nên $BMNC$ là hình vuông, do đó $BN\perp CM$. Gọi $I=BN\cap CM$, $J=AC\cap BD$ thì $J$ là trung điểm của $MN$. Khi đó $E$ là trọng tâm của tam giác $CNM$, do đó $\overrightarrow{IB}=-3\overrightarrow{IE}$. Phương trình đường thẳng $BE$ đi qua $E$ và vuông góc $CM$ là $3x+y-17=0$. Khi đó tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}x-3y+1=0\3x+y-17=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=5\y=2\end{cases}\Rightarrow I(5;2)$. Do $\overrightarrow{IB}=-3\overrightarrow{IE}\Rightarrow B(4;5)$. Gọi $C(3c-1;c)$, ta có $IC=IB=\sqrt{10}\Leftrightarrow(3c-6)^2+(c-2)^2=10\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c=1\c=3\end{array}ight.\Rightarrow C(2;1)$ (vì $x_C<3$). Khi đó $a=2,b=1\Rightarrow S=a+b=3$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 52