Bài tập nâng cao · Bài 51
Dạng 2. Tìm điểm
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 51
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;3)$, $B(-1;-1)$, $C(1;1)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I(a;b)$. Tính $a+b$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $IA=IB=IC\Rightarrow\begin{cases}IA^2=IB^2\\IA^2=IC^2\end{cases}$.
Ta có $IA=\sqrt{(1-a)^2+(3-b)^2}$, $IB=\sqrt{(-1-a)^2+(-1-b)^2}$ và $IC=\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}$.
Từ đó suy ra hệ phương trình $\begin{cases}(1-a)^2+(3-b)^2=(-1-a)^2+(-1-b)^2\\(1-a)^2+(3-b)^2=(1-a)^2+(1-b)^2\end{cases}$.
$\Leftrightarrow\begin{cases}-4a-8b=-8\\-4b=-8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-2\\b=2\end{cases}$.
Do đó $a+b=0$.
Ta có $IA=\sqrt{(1-a)^2+(3-b)^2}$, $IB=\sqrt{(-1-a)^2+(-1-b)^2}$ và $IC=\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}$.
Từ đó suy ra hệ phương trình $\begin{cases}(1-a)^2+(3-b)^2=(-1-a)^2+(-1-b)^2\\(1-a)^2+(3-b)^2=(1-a)^2+(1-b)^2\end{cases}$.
$\Leftrightarrow\begin{cases}-4a-8b=-8\\-4b=-8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=-2\\b=2\end{cases}$.
Do đó $a+b=0$.